О роли касательных напряжений и оптимальных (равнопрочных) свойствах волокнистых композитов

Принципиальным выводом анализа, проведенного с помощью асимптотических формул (1.12), является преобладание касательных напряжений  (1.15) над поперечными  (1.14) в сильно анизотропных материалах, что видно из рис. 1.3. При  поперечные напряжения стремятся к нулю: , а касательные снижаются незначительно: в изотропном случае .

Таким образом, расщепление должно начинаться на контуре, а не перед ним, и основную роль в расщеплении сильно анизотропных материалов типа однонаправленных пластиков играют касательные напряжения, что позволяет сформулировать условие равнопрочности в простом виде

                                                                                                      (1.18)

Принцип равнопрочности – один из фундаментальных в теории оптимального проектирования – находит новую трактовку при создании композитных материалов. Обычно конструкция считается равнопрочной для заданного вида нагружения, если с ростом параметра нагрузки условия разрушения выполняются одновременно во всех точках или в максимально большом числе точек конструкции. Для волокнистых композитов равнопрочность можно понимать как одновременность (1.18) выполнения условий различных видов разрушения около отверстий: разрыва волокон и расщепления поверхности раздела.

Отношение наибольших напряжений около отверстия , вообще говоря, зависит от его формы, но, как оказалось, незначительно. Для трещинообразных отверстий эллиптической или гиперболической формы (или в форме «мелкой» выточки Нейбера) для растяжения равномерными или сосредоточенными силами, или для изгиба пластины левая часть (1.18) стремится к одному и тому же пределу , а правая – отношение прочностей – константа материала. Для эллиптических отверстий в изотропном случае:

                              .                                            (1.19)

Отношение наибольших напряжений, как видно из (1.19), изменяется для разных отверстий в пределах  Для ортотропных материалов зависимость от формы отверстия ещё меньше. В пределе при  независимо от формы концентратора напряжений. Поэтому условие равнопрочности (1.18) можно относить к материалу, а не к отдельному виду отверстия. Интересно отметить, что условие (1.18) с разумной точностью выполняется для прочных сортов древесины: для дуба  для сосны соответствующие отношения равны 0,14 и 0,093. Отношение прочностей несколько меньше, чем отношение напряжений, поэтому расщепление предшествует разрыву волокон, и развитие поперечной трещины (например, от удара топором поперёк ствола) в древесине невозможно.

Для однонаправленного стеклопластика согласно (1.18) прочность на сдвиг должна равняться примерно 150 МПа, а реальная прочность полимерной матрицы втрое ниже, поэтому однонаправленные композиты расщепляются около концентраторов напряжений задолго до достижения в волокнах предела прочности.

Можно оценить рациональную объёмную долю волокон  для выполнения условия равнопрочности (1.18). При  разрушение начнётся с разрыва волокон, при  – с расщепления, и значит волокон при этом – избыток для данной прочности матрицы. У стеклопластика  Такой материал вряд ли устроит конструктора из-за невысокой прочности и жёсткости, но увеличение доли волокон может оказаться неэффективным для роста продольной прочности по причине преждевременного расщепления композита около неизбежных дефектов структуры, поэтому необходимо существенно повышать сдвиговую прочность связующего.

О распределении Вейбулла

Теория «слабого звена» применительно к волокнам выглядит более логичной, чем для обычных квазиоднородных сплавов, где разрушение, возникшее в одной точке (в одном элементе характерного размера), может ещё не означать разрушение всей конструкции. Обозначим P(L) вероятность разрушения волокна длины L для заданного напряжения σ. Тогда вероятность неразрушения этого участка волокна: . Добавим к волокну данной длины L участок волокна произвольной длины L*. Вероятность одновременного выполнения двух условий неразрушения на длине L и на длине L* выразится произведением вероятностей . Далее предлагается взять производную от логарифма этого произведения:

(1.20)

В силу произвольного выбора длины L* она не зависит от L и производная от неё по L равна нулю. Получается, что производная (1.20) не зависит от аргумента и равна константе - с. Поэтому

Это – основная идея. Обычно функцию распределения Вейбулла выбирают в следующем виде

                                    (1.21)

В формуле (1.21) пояснён смысл функции распределения прочности для модели пучка из N волокон, n из которых разрываются при данном напряжении.

Функция плотности распределения прочности получается дифференцированием (1.21):

                                 (1.22)

Здесь для простоты принято, что минимальная прочность σ₀=0.

Распределение Вейбулла более обосновано применительно к прочности волокон, чем традиционное нормальное распределение Гаусса, которое, во-первых, симметрично, во-вторых, допускает бесконечные и отрицательные значения прочности. Нормальное распределение имеет смысл для расчета точности артиллерийской стрельбы, когда отклонения от цели случайны и равновероятны, но для описания реальных, несимметричных, бимодальных («двугорбых») гистограмм прочности волокон его применение совершенно не оправдано.

Прочность пучка волокон за счет накопления разрывов волокон всегда ниже, чем средняя прочность волокон, поэтому статистическая теория прочности предсказывает два противоположных эффекта: рост прочности при уменьшении длины волокна (до эффективной) и снижение прочности пучка по сравнению со средней прочностью волокон. Реальные оценки показывают, что в уравнении (1.5) коэффициент реализации прочности волокон всё-таки меньше единицы из-за влияния быстро накапливающихся разрывов волокон в пучке.