Понятие вектора в пространстве.

Понятие вектора в пространстве.

П1. Основные понятия.

Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут  (рис. 1).

Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.

Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.

Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут  (рис. 1).

Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой  (рис. 2).

Опр. Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .

Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .

Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , ,  и  не коллинеарны.

П2. Равенство векторов.

Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Например, на рис. 3: а) , так как  и , б) , так как , в) , так как , но .

Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

П3. Сложение и вычитание векторов.

Правило треугольника. Чтобы найти сумму двух векторов  и  нужно от произвольной точки  отложить вектор , а затем от точки  отложить вектор , тогда вектор  (рис. 4).

Это правило можно сформулировать короче: для любых трёх точек , ,  имеет место равенство. .

Аналогично вводится правило суммы нескольких векторов.

Свойства суммы векторов. Для любых векторов  справедливы равенства:

1)  (коммутативность сложения, переместительный закон),

2)  (ассоциативность сложения, сочетательный закон).

Опр. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Очевидно, вектор  является противоположным вектору , то есть .

Опр. Разностью векторов  и  называется вектор, равный сумме вектора  и вектора , противоположного вектору , то есть .

Например, .

Метод координат в пространстве.

П2. Координаты вектора.

Зададим в пространстве прямоугольную декартову систему координат . На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор (вектор длины один): , , . Данные вектора называются координатными векторами. Очевидно, что координатные вектора не компланарны. Значит, по теореме §1, любой вектора  можно разложить по данным трём векторам, то есть представить в виде , причем коэффициенты разложения , ,  определяются единственны образом и называются координатами вектора  в данной системе координат. Пишут .

Например, в прямоугольном параллелепипеде (рис. 4), у которого , ,  выполняется , , , , , , , .

Свойства операций над векторами. Пусть ,  – произвольные вектора, ,  – произвольные точки,  - середина отрезка ,  – произвольное число, тогда:

1) вектора  и  равны тогда и только тогда, когда , , ;

2) каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: ;

3) каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов: ;

4) каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число: ;

5) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала: ;

6) каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов ;

7) длина вектора  может быть вычислена по формуле ; следовательно, длина вектора .

Понятие вектора в пространстве.

П1. Основные понятия.

Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут  (рис. 1).

Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.

Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.

Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут  (рис. 1).

Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой  (рис. 2).

Опр. Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .

Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .

Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , ,  и  не коллинеарны.

П2. Равенство векторов.

Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Например, на рис. 3: а) , так как  и , б) , так как , в) , так как , но .

Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.