Применение векторов при решении геометрических задач.

Рассмотрим применение векторов при решении геометрических задач на примере треугольников.

Задание 1. Существует ли треугольник , если: , , .

Утв.  Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Значит, треугольник существует, если длина большей стороны меньше суммы двух других его сторон.

Решение:

Вычислим длины сторон треугольника для этого вычислим координаты соответствующих векторов и воспользуемся формулой 7) §2:

, ;

,

, .

Итак, , , . Большая сторона . Проверим условием существования треугольника: , то есть  - неверно. Значит, треугольник  не существует.

Ответ: не существует.

Треугольники классифицируют по 2 критериям: по стороне и по углу.

По стороне:

- равносторонний треугольник - треугольник, все 3 стороны которого равны;

- равнобедренный треугольник - треугольник, какие-либо 2 стороны которого равны;

- разносторонний треугольник - треугольник, все стороны которого различны.

По углу:

- тупоугольный треугольник - треугольник, какой либо угол которого больше ;

- прямоугольный треугольник - треугольник, какой либо угол которого равен ;

- остроугольный треугольник - треугольник, все углы которого меньше .

Зам. Для определения вида треугольника по углу достаточно найти его больший угол. Тогда, если:

- больший угол больше , то треугольник тупоугольный;

- больший угол равен , то треугольник прямоугольный;

- больший угол меньше , то треугольник остроугольный.

Зам. Больший угол треугольника лежит против большей стороны.

Зам. При вычислении угла используют формулу 9) §2, по которой сначала вычисляется косинус данного угла, а потом определяется сам угол, значение которого может оказаться не табличным. Для определения типа треугольника по углу нахождение самого угла не требуется, достаточно определить лишь его вид. Полезно помнить, что:

- если , то ;

- если , то ;

- если , то .

Задание 2. Определите вид треугольника , если: , , .

Решение:

Вычислим длины сторон треугольника для этого составим соответствующие вектора и воспользуемся формулой 7) §2:

, ;

,

, .

Итак, , , . Большая сторона . Проверим условием существования треугольника: , то есть  - верно. Значит, треугольник  существует.

Так как , то треугольник  равнобедренный.

Большая сторона , следовательно, больший угол  найдём его по формуле 9) §2:

, где ,

Итак, , значит угол  тупой и треугольник  тупоугольный.

Ответ: треугольник  равнобедренный и тупоугольный.

Задание 3. Найдите длины сторон треугольника , длины его медиан, координаты центра и радиус описанной окружности около этого треугольника, если:

, , .

Решение:

Вычислим длины сторон треугольника для этого составим соответствующие вектора и воспользуемся формулой 7) §2:

, ;

,

,

Итак, , , . Большая сторона . Проверим условием существования треугольника: , то есть  - верно. Значит, треугольник  существует.

Так как  то треугольник равнобедренный.

Медиана это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Пусть  середина ,  середина ,  середина . Вычислим длины медиана , , , для этого найдем координаты точек , ,  по формуле 6) §2, составим соответствующие вектора и воспользуемся формулой 7) §2:

, , ;

, , ;

, ,

Радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:

 равнобедренный (), значит  - медиана, высота и биссектриса, поэтому , тогда

Итак, .

Центр описанной окружности около треугольника  совпадает с точкой  пересечения медиан. Пусть . Вычислим длины отрезков , , : составим соответствующие вектора и воспользуемся формулой 7) §2:

Учитывая, что  или , получим

Правые части уравнений одинаковые, попарно приравняем левые (1 и 2, 1 и 3), одно (1) уравнение системы временно опустим. Получим

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Подставим в 1 уравнение систем. Получим

Тогда

.

Итак, .

Ответ: , ,  - длины сторон треугольника; , ,  - медианы треугольника; т. ,  - центр и радиус описанной окружности около треугольника.