Приближенные методы: интерполяция функций полиномами Эрмита.

Задача [Эрмит]. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции :

При узел называется простым узлом интерполяции, при узел называется кратным узлом.

Для случая вещественной интерполяционной таблицы () задаче можно придать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести алгебраическую кривую через заданные точки так, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (а также, возможно, кривизны и т.п.).

§

Интерполяционный полином Эрмита используется в задаче разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби. Сам Эрмит применял его для оценки величины определенного интеграла по значениям функции и ее производных на концах интервала. Еще одно приложение — в задаче вычисления функции от матрицы.

Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим

Пусть — произвольный полином степени . Разложим дробь на сумму простейших над множеством :

Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на , получим:

здесь через обозначена дробно-рациональная функция по , знаменатель которой не обращается в нуль при . Подставим это значение в обе части последнего равенства:

Теперь продифференцируем последнее тождество по , подставим и воспользуемся данными интерполяционной таблицы:

Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:

Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита:

В литературе имеется неоднозначность терминологии — этот же полином называется и интерполяционным полиномом Лагранжа-Сильвестра, и интерполяционным полиномом Серре.

Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из , принимающих значения по таблице, можно представить в виде

здесь — интерполяционный полином Эрмита.

Интерполяционный полином Эрмита является естественным обобщением обычного интерполяционного полинома в форме Лагранжа () и формулы Тейлора ().

Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем:

Здесь — биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].

П

Пример. Построить интерполяционный полином по таблице

Решение. Здесь

Для имеем и в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое:

Для имеем и этому узлу соответствует полином

значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:

Для имеем :

и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:

Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления:

и

Наконец, для имеем :

Ответ. .

Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .

Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.

Теорема [1]. При заданных существуют а) полином

(т.е. ) и б) числа такие, что