IV . Элементы симметрии кристаллических многогранников.

Кристаллографические категории, сингонии.

ЗАДАЧА 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ И ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП

КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОГОГРАННИКОВ.

 

1.Определить элементы симметрии для 3 фигур конечной формы. Составить формулу симметрии многогранника.

2. Установить точечные группы этих фигур и доказать, что набор элементов симметрии образует группу.

3. Определить класс кристалла, сингонию кристалла и его категорию.

 

 

 

ЗАДАЧА 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ УЗЛОВ, РЕБЕР, НАПРАВЛЕНИЙ, ГРАНЕЙ И ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛА.

 

1. Для куба и октаэдра установите символы граней, осей симметрии, ребер и т.д.

2. Определить угол между направлением грани (hkl) и направлением [hkl].

3. Перечислите плоскости, входящие в семейство {111}, {110}, {100} для кубического кристалла.

ЗАДАЧА 3

Ознакомиться с простыми формами кристаллов.

Простые формы и их комбинации

Внешний вид кристалла – форма многогранника – зависит от внутренней структуры минерала, т.е. от сингонии, в которой кристаллизуется минерал. В основе учения о кристаллографических формах лежит понятие «простая форма».

Простой формой называется совокупность одинаковых граней, связанных элементами симметрии. Грани такой простой формы должны быть одинаковы по своим очертаниям и величине, а также по своим физическим и химическим свойствам. Примерами простых форм служат куб, октаэдр, ромбоэдр и другие.

Общее число простых форм ограничено и равно 47. Разнообразие геометрических форм, которое присуще природным многогранникам, объясняется комбинацией множества простых форм в них. Среди простых форм есть открытые и закрытые.

Открытая простая форма не образует замкнутой в пространстве фигуры. Она участвует только в комбинации с другими простыми формами. К открытым формам относятся: моноэдр, диэдр, пинакоид, призма, пирамида.

Замкнутая простая форма образуется замыкающимися в пространстве тождественными гранями (гексаэдр, октаэдр).

При определении кристаллов или моделей необходимо помнить:

- открытые простые формы преобладают в низшей и средней категориях;

- в высшей категории не могут находиться простые формы низшей и средней категорий.

Тригональная дипирамида;

Тетрагональная дипирамида;

Гексагональная дипирамида;

23, 24, 25 - дипирамиды с удвоенным числом граней;

26 - ромбоэдр – простая форма, состоящая из шести граней в виде ромба;

27, 28, 29 - трапецоэдры – многогранники, похожие на дипирамиды, но отличающиеся от них тем, что нижняя их половина смещена по отношению к симметричной верхней;

30 - тетрагональный тетраэдр - фигура, образованная четырьмя равнобедренными треугольниками;

31 - тетрагональный скаленоэдр – простая форма, образованная путем удвоения граней тетраэдра;

32 - дитригональный скаленоэдр - многогранник, образованный путем удвоения граней ромбоэдра.

 

Комбинации кристаллов

Реальные кристаллы чаще всего встречаются в природе в виде комбинаций. Комбинацией называется сочетание двух или нескольких простых форм. Количество простых форм в комбинации равно числу видов граней в кристалле.

Пример комбинации простых форм у кристаллов циркона и апатита приведены на рис. 17,18.

При определении комбинации необходимо мысленно продолжить до взаимного пересечения все грани одной исследуемой простой формы, не обращая внимания на грани других форм, входящих в комбинацию. При этом необходимо учитывать следующее:

1. Все грани одной простой формы и в комбинации одинаковы по очертаниям и размерам.

2. В комбинации может присутствовать несколько простых форм одного названия (например, два пинакоида, два диэдра).

3. В комбинации очертания граней одной простой формы, как правило, искажены за счет развития граней других простых форм.

Литература

 

1. М.П. Шаскольская. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1984, 372 с.

2. И. Костов. Кристаллография. М.: Мир, 1965, 528 с.

3. Г. Шульце. Металлофизика. М.: Мир, 1971, 503 с.

4. Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978, 792 с.

IV. Элементы симметрии кристаллических многогранников.

Симметричной фигурой (или симметричным многогранником) называется фигура (многогранник), которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразований.

 

Операции и элементы симметрии I и II рода.

Отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с самим собой, называются преобразованиями симметрии или симметричными операциями.

Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются эти отражения и вращения, называются элементами симметрии.

Плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии - характерные элементы симметрии кристаллических многогранников. Для обозначения симметричных преобразований и соответствующих им элементов симметрии в кристаллографии пользуются условными символами, приведенными в таблице:

Плоскость симметрии - плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение, как правая и левая рука.

В кубе три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии делят пополам противоположные ребра куба, шесть плоскостей симметрии проходят по диагоналям граней куба. Все девять плоскостей симметрии пересекаются в одной точке - центре куба, рис. 9.

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол фигура совмещается сама с собой. Порядок оси симметрии n показывает сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба есть три оси 4-го порядка (4, L₄), которые проходят через центры противоположных граней куба, четыре оси 3-го порядка (З, L₃), являющиеся пространственными диагоналями куба, шесть осей 2-го порядка (2, L₂), проходящих через середины пар противоположных рёбер, рис. 10.

 Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке - в центре куба.

Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) - особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проходящая через центр симметрии, встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях, рис. 11. Симметричное преобразование в центре симметрии - это зеркальное отражение в точке.

При всех симметричных преобразованиях все расстояния между точками фигуры остаются неизменными, т.е. фигура не испытывает растяжения, сжатия, изгиба. Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии, зеркальное отражение в центре симметрии представляют собой конечные или точечные симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигура не перемещается как целое и хотя бы одна ее точка остается на месте.

В кристаллографии нет оси 5-го порядка. В природе и в произведениях искусства можно найти примеры осей симметрии различного порядка. Сейчас обнаружена пятая ось симметрии в квазикристаллах.

Формально можно говорить и об оси симметрии 1-го порядка: любая фигура, даже несимметричная, совместится сама с собой при полном обороте вокруг любой оси, проходящей через эту фигуру.

Кроме того, к числу операций симметрии относится также тождественная или единичная операция - это операция преобразования фигуры в себя путем оставления ее на месте. Обозначается она символом 1 (Е).

 

Сложные элементы симметрии.

Инверсионная ось симметрии представляет собой совместное действие оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии. Инверсионных осей порядка 5 или большего, чем 6 в кристаллах не может быть.

Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом симметрии или точечной группой симметрии.