Способ интегральных аналогов

Для определения критериев подобия способом интегральных аналогов из уравнения процесса, содержащего n членов, необходимо:

- разделить все члены уравнения на какой–либо из них;

- опустить символы связи между членами уравнения;

- опустить символы дифференцирования и интегрирования, а также неоднородные функции;

К полученным n – 1 основным критериям подобия добавить а дополнительных критериев, то есть аргументов неоднородных функций, входящих в члены уравнения.

Тогда общее число критериев подобия, найденных способом ИА

К = (n – 1 ) + a.

Неоднородными называются функции параметров, не допускающие вынос за знак функции общего множителя. Например, функции вида

Sin (w t + j), exp (–t / T) и т. п.

 

Методика определения критериев подобия методом интегральных аналогов

Рассмотрим переходный процесс i(t) в цепи, образованной последовательным соединением элементов с активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С, которая включена на напряжение U, меняющиеся во времени по синусоидальному закону с угловой скоростью w.

Уравнение исследуемого процесса имеет вид

.

1. Записать исходное уравнение в виде:

,

то есть .

2. Опустить символы связи между членами уравнения,

то есть

3. Исключить из выражений для j _i неоднородные функции, приняв в качестве дополнительных критериев подобия аргументы этих функций:

_доп ; .

4. Опустить в выражениях для j _i символы дифференцирования и интегрирования, заменив  на   и   на   y x:

.

5. Заменить члены уравнения j _i, преобразованные на этапах 3 и 4, их аналогами  и записать выражения для них:

.

6. Разделить каждый член уравнения  на один из них и записать выражения для основных критериев подобия (делим на ):

.

7. Дополнить полученную систему основных критериев подобия критериями, полученными на 3 этапе:

p_доп= .

8. Записать масштабные соотношения для критериев подобия:

 

Вторая теорема подобия или p - теорема

Всякое полное уравнение процесса, записанное в определенной системе единиц, можно представить зависимостью между критериями подобия, т. е. функцию

 (1)

можно представить в виде функции

.

Теорема построена на основе анализа размерностей, устанавливает число критериев подобия и позволяет сократить число переменных от m размерных величин до (m – k)  безразмерных величин. p-теорема справедлива для процессов, которые описываются полными уравнениями в определенной системе единиц измерения.

Полные уравнения удовлетворяют принципу однородности, то есть все слагаемые, входящие в уравнение имеют одинаковую размерность.

Полные уравнения  (1) учитывают все связи между входящими в него величинами Р ₁, …, Р _m и справедливы при изменении единиц измерения этих величин.

Неполное уравнение отражает только частные зависимости, справедливые при определенных условиях.

Если часть величин в уравнении считать постоянными, то можно записать неполное уравнение

где .

Это уравнение переходит в полное, если раскрыть функциональную связь

.

Например, уравнение переходного процесса i (t) в цепи, образованной последовательным соединением элементов с сопротивлением R и индуктивностью L, которая включается на постоянное напряжение U, может быть полным

,

или неполным

,  где  – постоянная времени цепи RL.

В полных уравнениях первые k величин Р ₁, …, Р_k являются основными. Основными называются величины, независимые друг от друга, а также от других величин системы. Например, ток или напряжение.

Физические величины, определяемые через основные величины, называются производными или зависимыми величинами. Их количество m – k.

Для выбранных основных величин зависимой будет мощность (V = l / t, F = ma).

Выражая в критериях подобия зависимые величины через основные путем деления на них, функцию (1) можно записать в виде:

или .

Следовательно, всякую зависимость между m размерными величинами, среди которых k независимых, можно представить в виде зависимости из m – k безразмерных величин.

 

Третья теорема подобия

 

Необходимыми и достаточными условиями подобия процессов или объектов являются равенство критериев подобия и пропорциональность сходственных параметров.

Пусть имеются два процесса, описываемые уравнениями

Уравнения должны иметь одинаковое число m участвующих параметров. Необходимым условием существования подобия является наличие пропорциональности между всеми сходственными параметрами:

,

где P_iо и P_iм – сходственные параметры первой и второй систем, m_i – масштаб соответствующих параметров.

Второе условие:

.