Подобие динамических характеристик устройств САР

При изучении САР приходится оперировать с большим числом объектов, которые относятся к линейным системам. Нелинейные системы можно свести к линейным, используя второе дополнительное положение о подобии.

В задачах, связанных с определением динамических характеристик САР, возникает необходимость определения реакции системы   y (t) на входное воздействие x (t).

Применение теории подобия к решению таких задач рассмотрим на примере линейной системы.

Поведение линейной системы описывается дифференциальным уравнением n -го порядка:

,                                                (1)

где   a _s  и   b _k  – постоянные коэффициенты.

Уравнение (1) описывает широкий класс физически разнородных явлений.

Результаты исследования одной системы переносятся на другую с помощью закономерностей, вытекающих из теории подобия. Пользуясь сособом интегральных аналогов, т. е. делением на один из членов (1), например, на  находим критерии подобия:

                             (2)

(На дом: вывести критерии подобия для лабораторной работы)

Рассмотрим критерий  p _kb.

При единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях реакция системы представляет собой переходную функцию h (t), которая является критерием подобия линейных систем. Из (2) при s ¢=0  и k =0 следует, что при  и при t ®0, т. е. h (0)

,

откуда

Так как критерии подобия могут преобразовываться путем умножения на любой коэффициент k = , то выражение  является критерием подобия. Следовательно, переходная функция h (t) является критерием подобия, а приведенные переходные характеристики подобных линейных систем в сходственные моменты времени совпадают.

Для лабораторной работы связь по h (t):

 в сходственные моменты времени.

Использование передаточных функций.

При нулевых начальных условиях и переходе к изображениям выражение (1) принимает вид:

.

Используя метод интегральных аналогов разделим на :

                    (3)

Передаточная функция имеет вид , поэтому при нулевых начальных условиях:

.

Из свойств критериев подобия следует, что если  – критерий подобия, то и  – также является им, где . Следовательно, передаточная функция W (р) является критерием подобия, а для подобия линейных систем необходимо и достаточно выполнение подобия их передаточных функций.

При исследовании динамических свойств широко используются частотные характеристики, например, АФХ. Преимущество АФХ заключается в простой их связи с W (р) – достаточно заменить р на j w.

Связь между W (р) и АФХ показывает, что приведенные АФХ подобных линейных систем совпадают. При этом совпадение происходит в точках характеристик со сходственными частотами w, определяемыми масштабом по частоте m _w.

Для лабораторной работы связь модели и оригинала:

W _м(j w_м)= W _о(j w_о)/ k, где .

Свойство совпадения частотных характеристик математически подобных систем позволяет находить W (р) по его АФХ.