Построение частотных характеристик

Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная характеристика. Для получения ее рассмотрим динамическое звено в случае, когда возмущение f(t)=0, а на входе имеется гармоническое воздействие

,

где А_вх – амплитуда входного воздействия; w - круговая частота (0< w< ¥).

По окончании переходного процесса на выходе САУ (элемента) будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и входные колебания, но отличающиеся в общем случае по амплитуде и фазе, т.е. в установившемся режиме

где А_вых – амплитуда выходных колебаний; j - фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями (рис. 2.13).

При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе зависят от частоты колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты отношения амплитуд

                                            (2.29)

и сдвига фаз j (w) выходных и входных установившихся колебаний от частоты. Эти зависимости определяются соответственно:

А(w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

j(w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ).

 

Аналитические выражения для частотных характеристик замкнутой системы получают из комплексной передаточной функции W(j w):

АЧХ – модуль комплексной передаточной функции: A(w)= | W(j w)|;

ФЧХ – аргумент комплексной передаточной функции: j(w) = arg(W(j w)).

Передаточная функция замкнутой системы в общем виде

W(p) =.

Комплексную передаточную функцию получим, подставив p = j w, где   – мнимая единица

W(j w) =

Одним из возможных путей получения функций АЧХ и ФЧХ является следующий. Обозначим:

P_b(w) = b₀ – действительная часть числителя,

Q_b(w) = 0 – мнимая часть числителя,

P_a(w) = a₀ – a₂ w ² – действительная часть знаменателя,

Q_a(w) = a₁ w – a₃ w ³ – мнимая часть знаменателя,

тогда

W(j w) =.

Для того чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе умножим последнее выражение на

W(j w) = ∙ = =
= = P(w) + jQ(w),

где

P(w) =,

Q(w) =.

 

Амплитуда – модуль комплексной передаточной функции:

A(w) = | W(j w) | =.

Фаза – аргумент комплексной передаточной функции:

j(w) = arg(W(j w)) =.

По полученным формулам рассчитаем P_a(w), P_b(w), Q_a(w), Q_b(w), P(w), Q(w), A(w), j(w) при изменении w от 0 до 90, занесем данные в табл. 2 и построим зависимости A(w) и j(w) (если фаза получается положительной, на графике откладываем j(w) – 2p). Диапазон изменения частоты выбирается таким, чтобы показать все особенности частотных характеристик. В примере подходящим частотным диапазоном для частотных характеристик является В каждом случае этот диапазон будет разным. Выбирать его следует исходя из внешнего вида характеристик.

Таблица 2.

Расчетные данные для частотных характеристик

w, с-1	Pa	Pb	Qa	Qb	P	Q	A	j, рад
0	50	50	0	0	1	0	1	0
5	47.38	50	4.938	0	1.044	-0.109	1.050	-0.103
10	39.5	50	9.5	0	1.197	-0.288	1.231	-0.236
15	26.38	50	13.31	0	1.511	-0.763	1.692	-0.467
20	8	50	16	0	1.25	-2.5	2.795	-1.107
25	-15.63	50	17.19	0	-1.448	-1.593	2.152	-2.308
30	-44.5	50	16.5	0	-0.988	-0.3663	1.053	-2.786
35	-78.63	50	13.56	0	-0.618	-0.1065	0.626	-2.970
40	-118	50	8	0	-0.422	-0.0286	0.422	-3.074
50	-212.5	50	-12.5	0	-0.234	0.0138	0.234	-3.200
70	-464.5	50	-101.5	0	-0.103	0.0225	0.105	-3.356
90	-800.5	50	-274.5	0	-0.056	0.0192	0.059	-3.471

 

Рис. 6. Частотные характеристики замкнутой системы

Аналогично построим логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы. ЛАЧХ равна (преобразование выражений для L_P(w) и j_Р(w) и расчетные данные опущены для краткости изложения)

L_P(w) = 20 log (A_P(w));

j_Р (w) = arg(W_P(j w)).

 

Рис. 7. ЛЧХ разомкнутой системы.

Асимптотическая ЛАЧХ

Существует простой метод построения ЛАЧХ разомкнутой одноконтурной системы. Эта характеристика является приближенной и состоит из отрезков прямых. Точная же амплитудно-частотная характеристика асимптотически приближается к ней. Поэтому данную характеристику называют асимптотической. При её построении целесообразно придерживаться следующей последовательности:

1) передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде произведения передаточных функций типовых звеньев;

2) выписать в убывающем порядке постоянные времени всех звеньев, входящих в данную систему, и определить соответствующие им сопрягающие частоты:

;

     3) оцифровать ось частот логарифмического бланка так, чтобы сопрягающие частоты были примерно в средней части бланка;

4) при частоте  отметить точку с ординатой , где K - коэффициент передачи разомкнутой системы. Через эту точку в диапазоне частот  провести низкочастотную асимптоту ЛАЧХ с наклоном - n ´20 дБ/дек, где n - число интегрирующих звеньев одноконтурной системы;

5) продолжать построение ЛАЧХ, изменяя наклон  после каждой сопрягающей частоты, в зависимости от того, какому звену эта сопрягающая частота соответствует. Наклон изменяется на –20 дБ/дек для инерционного звена, на +20 дБ/дек - для форсирующего звена первого порядка; на +40 дБ/дек - для форсирующего звена второго порядка, на –40 дБ/дек - для колебательного звена.

ЛФЧХ разомкнутой системы определяются как сумма ЛФЧХ типовых звеньев системы, которые могут быть вычислены по формулам или построены с помощью шаблонов.

     Вернемся к нашему примеру. Для построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде произведения передаточных функций типовых звеньев

W_p(p) = = k.

Число интегрирующих звеньев (порядок астатизма) n = 1.

k = 50;       T₁ = 0,005 c;     T₂ = 0,1 c

L_p(1) = 20 log k = 34

 

Таблица 3. Данные для асимптотической ЛАЧХ

Wi(p)	тип звена	Ti, с	wi, с–1	изменение наклона, дБ / дек	суммарный наклон, дБ / дек
			начальный наклон		– 20
	инерционное	0,1	10	– 20	– 40
	инерционное	0,005	200	– 20	– 60

Рис. 8. ЛАЧХ разомкнутой системы.