Оценка устойчивости по ЛЧХ разомкнутой системы

Критерий Найквиста можно сформулировать и для логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Такая возможность основана на однозначной связи между ЛЧХ и АФХ разомкнутой системы.

Эту связь покажем на примере астатической следящей системы, имеющей в разомкнутом состоянии следующую передаточную функцию:

 

.

 

АФХ разомкнутой системы показана на рис. 23. ЛЧХ той же системы показаны на рис. 24. ЛЧХ представляют собой ЛАЧХ и ЛФЧХ, построенные на одной плоскости (ось логарифмической амплитуды L слева, сдвига фаз φ – справа). На рис. 23 для произвольной точки показаны амплитуда A и фазовый угол φ.

Частоту, при которой АФХ пересекает окружность единичного радиуса   (см. рис. 23), называют частотой среза и обозначают ω_c. При частоте среза амплитуда равна единице:

A (ω_c) = 1,

следовательно, логарифмическая амплитуда

L (ω_c) = 20· lg A (ω_c) = 0.

Это означает, что при частоте среза ЛАЧХ пересекает ось частот и меняет знак (см. рис. 24).

Частоту, при которой АФХ пересекает отрицательную вещественную полуось, обозначают ω_п. Фазовая характеристика при этой частоте равна – 180º

φ(ω_п) = – 180.

Согласно критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (–1; 0). Это возможно, если АФХ пересекает отрицательную вещественную полуось на участке 0…–1. Следовательно, фазовый сдвиг должен быть при амплитуде меньше 1:

A (ω _п) < 1,

значит

L (ω _п) < 0.

Исходя из изложенного, можно сформулировать условие оценки устойчивости по ЛЧХ.

Замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой характеристики значения –180º ЛАЧХ отрицательна.

Другими словами, если ω_c < ω_п, то система устойчива. Если ω_c > ω_п, то система не устойчива. Если ω_c = ω_п, то система находится на границе устойчивости.

Запасы устойчивости

Если АФХ устойчивой системы расположена близко от точки (–1; 0), то при изменении параметров системы при производстве и эксплуатации она может стать неустойчивой. Поэтому САУ должна иметь запас устойчивости.

Запас устойчивости замкнутой системы тем больше, чем дальше расположена АФХ разомкнутой системы от точки (–1; 0). Удаление АФХ от этой точки можно оценивать двумя величинами:

A_зап – запас устойчивости по амплитуде (по модулю).

φ_зап  – запас устойчивости по фазе.

На рис. 25 и 26 показано определение запасов устойчивости. Запасы устойчивости можно определять и по АФХ и по ЛЧХ. По ЛЧХ запас устойчивости по амплитуде измеряют в децибелах и обозначают L _зап. Из рисунков следует, что

A _зап = 1 – A (ω _п),

L _зап = – L (ω _п),

φ_зап  = 180º – φ(ω _с).

 

Требования к запасу устойчивости проектируемой САУ зависят от назначения, области применения системы управления и других факторов. В большинстве случаев САУ обладает достаточным запасом устойчивости, если

A _зап ≥ 0,5,

L _зап ≥ 6 дб,

φ_зап  ≥ 30º.

Определим запасы устойчивости электромеханической следящей системы графически по ЛЧХ разомкнутой системы (см. рис. 7).

Запасы устойчивости: по фазе j_ЗАП = 19,2°, по амплитуде L_ЗАП = 12,5 дБ.

     Графический метод определения запасов устойчивости может давать большую погрешность. Можно найти запасы устойчивости без построения ЛЧХ разомкнутой системы, если есть выражения для функций L_Р(w) и j_Р(w).

     Находим w_С и w_П из уравнений L_Р(w_С) = 0 и j_Р(w_П) = – p.

20 log (A_P(w_С)) = 0,

arg(W_P(j w)) = – p.

Решение этих двух уравнений: w_С = 21,2 с^–1, w_П = 44,8 с^–1

Тогда запасы устойчивости определяются из выражений

     L_ЗАП = – L(w_П) = 12,5 дБ;

     j_ЗАП = j(w_С) + p = 0,335 рад = 19,2 °.

Вывод: запас устойчивости по фазе недостаточен (рекомендуемые запасы устойчивости L_ЗАП > 6 дБ, j_ЗАП > 30°). Поэтому необходима коррекция динамических свойств системы (в примере это не производится).