Оценка точности результатов равноточных измерений.

Для оценки точности пользуются средней квадратической и предельной погрешностями. Измерения, выполняемые в одинаковых условиях и одинаковыми приборами, считают равноточными. В качестве характеристики точности таких измерений не может не может быть принята истинная погрешность Δ. Как величина случайная, она различная для каждого измерения и обычно неизвестна. Основной характеристикой точности измерений служит средняя квадратическая погрешность.

v Виды измерений.

Под измерениями какой – либо величины понимают процесс сравнения с другой однородной с ней величиной, принятой за единицу измерения.

Факторы, участвующие в процессе измерения:

1. Объект измерения.

2. Приборы и методика измерения.

3. Наблюдатель.

4. Внешняя среда.

Совокупность факторов называется условием измерений.

В зависимости от ошибок измерения делятся на:

- равноточные и неравноточные.

- необходимые и избыточные (для контроля).

- непосредственные (прямые) и косвенные.

Прямые - измерения, когда определяемую величину получают в результате непосредственного сравнения с единицей меры. Так, длину линии измеряют отложением вдоль нее землемерной ленты (ЛЗ) или рулетки.

Косвенные – измерения, при которых определяемую величину получают как функцию других непосредственно измеренных величин. 

v Классификация ошибок, свойства случайных ошибок.

Главным образом ошибки измерений происходят от:

- несовершенства органов чувств.

- недостатков измерительных приборов.

- под влиянием внешних условий.

Различают ошибки грубые и неизбежные (систематические и случайные).

Грубые – это промахи, просчеты, выходящие за пределы точности измерений (избыточные измерения).

Систематические – в зависимости от условий измерения могут оставаться постоянными как по знаку, так и по величине или изменяться по определенному закону.

Случайные – различны по величине и знаку. Они подчиняются статической закономерности (закономерность массовых явлений).

Систематические ошибки исключают:

- введением поправки.

- методикой измерения.

Изучение природы случайностей ошибок позволяет:

- оценить точность полученных результатов измерения.

- сделать правильность, наиболее надежный выбор результата (при этом исключаются грубые и систематические ошибки).

Свойства случайных ошибок:

1. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще.

2. Случайные ошибки не могут превышать определенного предела.

3. Положительные ошибки появляются так же часто, как и равные им по величине отрицательные.

4. Сумма случайных ошибок деленная на n

v Принцип арифметической середины. Средние квадратические ошибки – m, M.

Пусть одна и та же величина измерена n раз (. Измерения произведены равноточно. Известна истинная величина L.

Где  – результат измерений.

Х – его точное значение (ср. арифметическое).

 

Оценка точности результата непосредственных измерений.

Критерии:

1. Результат считается одинаково ошибочным будет ли он больше истинного значения или меньше на одну и ту же величину.

2. Чем крупнее в данном ряде отдельные ошибки, тем ниже точность измерений.

 

Формула Гаусса:

m – ср.кв. ошибка 1 измерения.

Ср.кв. ошибка данного ряда равноточных независимых измерений равна корню квадратному из суммы квадратов истинных ошибок этого ряда, деленное на число всех измерений.

Формула Бесселя:

Где - уклонение от вероятнейшего, причем сумма уклонений должна равняться нулю.

Средняя квадратическая ошибка вероятнейшего значения М вычисляется по формуле:

 

v Относительные и предельные ошибки. Средние квадратические ошибки простейших функций.

Относительные ошибки.

Применяют, когда на результат измерений влияют систематические ошибки.

Предельные ошибки.

Доказано, что при большом числе – n

- случайная ошибка – в 32 случаях из 100>m.

- случайные ошибки – в 5 случаях из 100>2m.

- случайные ошибки – в 3 случаях из 1000>3m.

Принято предельной ошибкой считать 2m или 3m. Так, при измерениях углов ±2t.

Случайные ошибки больше предельных считаются грубыми.

 

Ср.кв. ошибки простейших функций.

Ср.кв. ошибки алгебраической суммы нескольких непосредственно измеренных величин:

(так как измерения равноточные)

, то

Ср.кв. ошибки функции непосредственно измеренной величины умноженная на постоянный коэффициент:

Ср.кв. ошибки функции произведения (частного от деления) двух величин.

Для вычисления ср.кв. ошибки найденной площади воспользуемся общим правилом оценки точности функции:

где , - измеренные величины, их ср.кв. ошибки .

Известно, что

где m_y - ср.кв. ошибка величины y.

Применим эти формулы к оценки точности площади, приняв при этом:

S=y, a=x₁, b=x₂.

Найдем:

Разделив левую часть на S², а правую на a²b², получим: