Числовые множества и комплексные числа

Комплексные числа

 

Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей

очной формы обучения

 

Самара 2007

 

УДК 517

 

       Высшая математика: методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей очной формы обучения / составители: В.А. Паняев, Н.М. Латыпова. – Самара: СамГАПС, 2007. – 24 с.

 

 

Утверждено на заседание кафедры 03.10.2006, протокол №2.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

 

Методические указания и индивидуальные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и действующей программой по высшей математике для технических вузов.

 

 

Составители: к.т.н., доцент В.А. Паняев

              к.ф.-м.н., доцент Н.М. Латыпова

 

Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ В.В. Максимов

              к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.Л. Шур

 

Под редакцией составителей

 

Подписано в печать 19.04.2007. Формат 60 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,5.

Тираж 150 экз. Заказ № 68.

 

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2007

Комплексные числа

 

Геометрическое изображение комплексных чисел в декартовой

Системе координат

 

    Всякое комплексное число  удобно изображать точкой  на комплексной плоскости  (рис. 1). Оси  и  прямоугольной декартовой системы координат на этой плоскости называются соответственно действительной и мнимой осями. Между точками плоскости  и изображенными на ней комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.

    Одновременно с этим каждая точка  плоскости определяет вектор  с началом в начале системы координат и концом в этой точке, проекции которого на оси координат будут соответственно х и y. Длина (модуль) этого вектора

 

.                                         (2.8)

 

Действительные числа  изображаются на комплексной плоскости точками (х, о) оси  или векторами, параллельными этой оси, а число  будет являться единичным вектором оси .

Действительные числа  изображаются на комплексной плоскости точками (х, 0) оси  или векторами, параллельными этой оси, а число  будет являться единичным вектором оси .

Чисто мнимым числам  будут соответствовать точки  оси  или векторы, параллельные этой оси. Число  изображается точкой (0, 1) мнимой оси и одновременно являться единичным вектором  оси . Любая пара комплексно-сопряженных чисел z и  на комплексной плоскости изображается векторами  и , симметричными действительной оси  (рис. 1).

Векторы  являются свободными векторами, поэтому их начало можно совмещать с любой точкой комплексной плоскости путем параллельного переноса. Сложение и вычитание комплексных чисел можно рассматривать как сложение и вычитание соответствующих векторов, совмещая их начало с точкой О (рис. 2).

Рис. 1                                                                      Рис. 2

    С помощью комплексных чисел можно задавать различные множества точек комплексной плоскости , что используется при анализе различных функций комплексной переменной и графическом изображении области их определения.

 

 

Комплексного числа

Совместим начало координат системы xOy с полюсом т. О и ось Ох с полярной осью p (рис.1) Введем в рассмотрение длину | z | вектора z { x, y } и угол φ, образованный вектором z с положительным направлением оси Ох. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Угол , если отсчет его производится против направления движения часовой стрелки, и , если по часовой стрелке. Очевидно, что для всякого комплексного числа  справедливы формулы:

 

; ;

; ; ;                                           (2.9)

 

где , .

 

При этом необходимо учитывать, что для любого комплексного числа его аргумент А rgz при  может иметь бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на слагаемое кратное . Поэтому условия равенства комплексных чисел заключается в том, что длины (модули) должны быть равны, а аргументы φ могут отличаться на величины, кратные .

Из множества значений Argz для практических расчетов выделяют одно, лежащее в интервале ,которое обозначают а rgz. Оно называется главным значением аргумента комплексного числа:

 

 или .                                                       (2.10)

 

Очевидно , где .                                          (2.11)

 

Для нахождения главного аргумента комплексного числа удобно использовать следующие формулы:

для точек z первой и второй четверти

комплексной плоскости,

для точек второй четверти,                         (2.12)

 

для точек третьей четверти.

 

    Числа  и углы  является полярными координатами точки z, т.е. .

    Используя алгебраическую форму  и формулы (2.9) получим тригонометрическую форму комплексного числа

 

                                          .                                       (2.13)

 

    В тригонометрическом виде комплексно-сопряженное число , т.к. , выражается формулой

 

            (2.14)

 

    Пример. Изобразить комплексные числа  и  на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической форме.

    Решение. Оба числа представлены в алгебраической форме. Изобразим эти числа на комплексной плоскости и определим сначала модули  и  и главные аргументы  и  (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

1. , .

Число  или его вектор  находятся в III четверти. Используя формулу (2.12) для этой четверти, имеем

, или .

Если воспользоваться положительным значением угла , показанным на рис. 3, тогда  или . Тригонометрическая форма числа  принимает вид:

 или .

Подставив в последние формулы значения  и , придем к исходной алгебраической форме этого числа .

    2. , .

Число  и его вектор  находятся во II четверти. На основании формулы (2.12) получим

 рад, или ;

 

 или .

 

 

Формула Муавра

 

Использование комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над ними действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

 

Умножение и деление

 

Пусть , .

Тогда .

Используя известные формулы  и , окончательно получим:

 

.                        (2.15)

 

Доказано для любого числа сомножителей: при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме достаточно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Так как , то подставляя в это выражение ,  и  в тригонометрической форме и проводя соответствующие преобразования получим:

.

Формула принимает вид

 

.                                 (2.16)

 

    Для выполнения деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует их модули разделить, а аргументы вычесть.

2.4.2. Возведение в натуральную степень n

 

Используем равенство (2.15) для возведения произвольного комплексного числа  в натуральную степень n, принимая во внимание, что . (n раз).

 

Получим .                                                         (2.17)

 

Равенство (2.17) называется формулой Муавра (1707 г.)

    Из формулы Муавра следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень необходимо его модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

При  формула (2.16) принимает вид

 

.                                      (2.18)

 

Замечание. Если комплексное число задано в алгебраической форме, для возведения его в степень по формуле Муавра необходимо предварительно записать число в тригонометрической форме, найдя модуль  и главный аргумент .

 

Библиографический список

 

1. Рыбников К.А История математики. – М.: Издательство МГУ, 1994. -496 с.

2. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975 - 158 с.

3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для вузов. – М.: Высшая школа, 1970 – 416 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1984 – 432 с.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989 – 656 с.

6. Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1996 – 448 с.

7. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 – Мн.: Высшая школа, 1991. – 352 с.

 

Комплексные числа

 

Методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей

очной формы обучения

 

Самара 2007

 

УДК 517

 

       Высшая математика: методические указания и индивидуальные задания по разделу «Комплексные числа» для студентов всех специальностей очной формы обучения / составители: В.А. Паняев, Н.М. Латыпова. – Самара: СамГАПС, 2007. – 24 с.

 

 

Утверждено на заседание кафедры 03.10.2006, протокол №2.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

 

Методические указания и индивидуальные задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и действующей программой по высшей математике для технических вузов.

 

 

Составители: к.т.н., доцент В.А. Паняев

              к.ф.-м.н., доцент Н.М. Латыпова

 

Рецензенты: к.т.н., доцент СГАУ В.В. Максимов

              к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.Л. Шур

 

Под редакцией составителей

 

Подписано в печать 19.04.2007. Формат 60 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,5.

Тираж 150 экз. Заказ № 68.

 

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2007

Комплексные числа

 

Числовые множества и комплексные числа

 

    История введения в математику понятия комплексного числа отражает общую тенденцию развития математических исчислений, когда использование новых математических операций приводило к необходимости расширения числовой области.

    Понятие числа, являясь первичным и основным в математике, прошло, как известно, длительный путь исторического развития.

    Множество натуральных чисел  появилось в связи с необходимостью проводить счет (сложение и умножение) реальных предметов. Потребности практики и развитие математики привели к необходимости введения обратных операций – вычитания, деления и извлечения корня. Натуральный ряд был дополнен противоположными натуральным по значению отрицательными числами и нулем, что привело к возникновению множества целых чисел ,  затем рациональных , , и иррациональных . Последние были введены в связи с необходимостью измерения отрезков, длина которых не является рациональным числом.

    Операция извлечения корня явилась причиной введения общего понятия действительного числа. Как известно, множества рациональных и иррациональных чисел в совокупности образуют упорядоченное множество действительных чисел , где , т.е. , и изображают точками непрерывной числовой оси . С их помощью можно выразить длину любого реального отрезка.

    Для рассмотренных числовых множеств имеет место такое последовательное включение:

 

 

Понятие комплексного числа z представляет расширение понятия действительных чисел, которые можно рассматривать как некоторое подмножество в множестве комплексных чисел , т.е.

Исторически комплексные числа z обязаны своим возникновением попыткам найти решение алгебраических уравнений. Частные случай, связанный с необходимостью извлечения квадратного корня или корня четной степени из отрицательного числа привел к необходимости введения мнимых чисел, в отличие от действительных, и появлению множества комплексных чисел .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Рассмотрим решение простейшего кубического уравнения :

 

(1.1)

Чтобы объяснить парадокс – извлечение квадратного корня из отрицательного числа, итальянский ученый-алгебраист эпохи Возрождения Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести в математические операции числа новой природы, назвав их «чисто отрицательными», однако считая их бесполезными для приложений. В 1572 г. итальянский алгебраист Раффаэле Бомбелли установил первые арифметические операции над такими числами.

Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Рэне Декарт. В 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века Леонард Эйлер для обозначения  предложил использовать первую букву французского слова  (мнимый, воображаемый, несуществующий), т.е. ввести обозначение  в структуру комплексных чисел. Тогда корни z_2,3 выше приведенного кубического уравнения записываются в виде

 

                                        (1.2)

 

т.е. в алгебраической форме комплексное число принимает вид , где a и b – действительные числа,  мнимая единица.

Общая теория корней n -й степени из отрицательных и любых комплексных чисел основана на формуле английского математика французского происхождения Абрахама де Муавра, и была построена на рубеже XVII – XVIII веков.

В конце XVIII – начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Независимо друг от друга датчанин Каспар Вессель, француз Жан Аргон и крупнейший немецкий математик Карл Гаусс предложил изображать комплексное число точкой М(а, b) на координатной комплексной плоскости. Позднее пришли к выводу, что такое число удобнее изображать не самой точкой, а радиусом-вектором , проведенным в точку М из начала координат, что позволило рассматривать операции сложения и вычитания комплексных чисел как операции над соответствующими векторами.

Геометрический подход к изображению комплексных чисел и накопленные знания об их свойствах создали предпосылки для разработки теории функций комплексной переменной. Комплексные числа в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники: при расчетах электрических цепей, решении обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений математической физики, при изучении течения жидкостей и газа (аэро и гидродинамика), решении задач теории упругости, проблем квантовой теории поля и многих других задач.

 

2. Различные формы представления комплексных чисел и операции над ними

 

Для каждого комплексного числа возможны три формы его представления: алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы. В зависимости от конкретного случая и проводимых операций над комплексными числами используется та или иная форма. При необходимости всегда возможен переход из одной формы комплексного числа в другую.

Рассмотрим каждую из этих форм отдельно.

 

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа. Рациональные действия над комплексными числами

 

    Множество, состоящее из выражений вида

 

,                                                   (2.1)

 

где , а  - действительные числа, называется множеством комплексных чисел, представленных в алгебраической форме^*.

    Числа х и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа  и обозначаются , ;  - мнимая единица (i ²= -1).

    При  комплексное число  совпадает с действительным числом х; если , то имеем комплексное число , которое называется чисто мнимым. Отождествляя комплексные числа вида  с действительными числами х, убеждаемся в том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел z (подмножеством  множества комплексных чисел , т.е. )

    Два комплексных числа  и  считаются равными только в том случае, если их действительные и мнимые части соответственно равны:

 

, если  и .

 

В противном случае . Отношений  для комплексных чисел не существует.

    Комплексное число равно нулю только в том случае, если равны нулю его действительная и мнимая части:

 

, если  и .

 

Числа вида  и , являющиеся корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом (, см. решение кубического уравнения ), называются комплексно-сопряженными числами.

 

* Общепринятой является u форма записи комплексного числа , где a и b – действительные числа, о чем говорилось ранее.

    Операции сложения, вычитания, умножения и деления над комплексными числами  и  производятся как над алгебраическими двучленами, принимая во внимание, что :

 

1) ;                                (2.2)

 

2) .                                (2.3)

 

3) При делении комплексных чисел «уничтожается мнимость в знаменателе», для чего умножают числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

, где ,               (2.4)

 

или .                              (2.5)

 

    Рассмотренные операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соответствующих операций над действительными числами.

 

4) Сумма и произведение комплексно-сопряженных чисел  и  есть всегда действительное число, в чем нетрудно убедиться:

 

                                                 (2.6)

 

5) Для комплексных чисел остаются верными также алгебраические формулы сокращенного умножения:

 

                               (2.7)

 

Примеры.

1. .

2. .