Геометрическое изображение комплексных чисел в декартовой

Системе координат

 

    Всякое комплексное число  удобно изображать точкой  на комплексной плоскости  (рис. 1). Оси  и  прямоугольной декартовой системы координат на этой плоскости называются соответственно действительной и мнимой осями. Между точками плоскости  и изображенными на ней комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.

    Одновременно с этим каждая точка  плоскости определяет вектор  с началом в начале системы координат и концом в этой точке, проекции которого на оси координат будут соответственно х и y. Длина (модуль) этого вектора

 

.                                         (2.8)

 

Действительные числа  изображаются на комплексной плоскости точками (х, о) оси  или векторами, параллельными этой оси, а число  будет являться единичным вектором оси .

Действительные числа  изображаются на комплексной плоскости точками (х, 0) оси  или векторами, параллельными этой оси, а число  будет являться единичным вектором оси .

Чисто мнимым числам  будут соответствовать точки  оси  или векторы, параллельные этой оси. Число  изображается точкой (0, 1) мнимой оси и одновременно являться единичным вектором  оси . Любая пара комплексно-сопряженных чисел z и  на комплексной плоскости изображается векторами  и , симметричными действительной оси  (рис. 1).

Векторы  являются свободными векторами, поэтому их начало можно совмещать с любой точкой комплексной плоскости путем параллельного переноса. Сложение и вычитание комплексных чисел можно рассматривать как сложение и вычитание соответствующих векторов, совмещая их начало с точкой О (рис. 2).

Рис. 1                                                                      Рис. 2

    С помощью комплексных чисел можно задавать различные множества точек комплексной плоскости , что используется при анализе различных функций комплексной переменной и графическом изображении области их определения.

 

 

Полярная система координат. Тригонометрическая формула

Комплексного числа

Совместим начало координат системы xOy с полюсом т. О и ось Ох с полярной осью p (рис.1) Введем в рассмотрение длину | z | вектора z { x, y } и угол φ, образованный вектором z с положительным направлением оси Ох. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается . Угол , если отсчет его производится против направления движения часовой стрелки, и , если по часовой стрелке. Очевидно, что для всякого комплексного числа  справедливы формулы:

 

; ;

; ; ;                                           (2.9)

 

где , .

 

При этом необходимо учитывать, что для любого комплексного числа его аргумент А rgz при  может иметь бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на слагаемое кратное . Поэтому условия равенства комплексных чисел заключается в том, что длины (модули) должны быть равны, а аргументы φ могут отличаться на величины, кратные .

Из множества значений Argz для практических расчетов выделяют одно, лежащее в интервале ,которое обозначают а rgz. Оно называется главным значением аргумента комплексного числа:

 

 или .                                                       (2.10)

 

Очевидно , где .                                          (2.11)

 

Для нахождения главного аргумента комплексного числа удобно использовать следующие формулы:

для точек z первой и второй четверти

комплексной плоскости,

для точек второй четверти,                         (2.12)

 

для точек третьей четверти.

 

    Числа  и углы  является полярными координатами точки z, т.е. .

    Используя алгебраическую форму  и формулы (2.9) получим тригонометрическую форму комплексного числа

 

                                          .                                       (2.13)

 

    В тригонометрическом виде комплексно-сопряженное число , т.к. , выражается формулой

 

            (2.14)

 

    Пример. Изобразить комплексные числа  и  на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической форме.

    Решение. Оба числа представлены в алгебраической форме. Изобразим эти числа на комплексной плоскости и определим сначала модули  и  и главные аргументы  и  (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

1. , .

Число  или его вектор  находятся в III четверти. Используя формулу (2.12) для этой четверти, имеем

, или .

Если воспользоваться положительным значением угла , показанным на рис. 3, тогда  или . Тригонометрическая форма числа  принимает вид:

 или .

Подставив в последние формулы значения  и , придем к исходной алгебраической форме этого числа .

    2. , .

Число  и его вектор  находятся во II четверти. На основании формулы (2.12) получим

 рад, или ;

 

 или .