Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Теория

Прямая и отрезок

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

 

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

 

Отрезок – это часть прямой,ограниченная двумя точками (концами отрезка).

 

Луч и угол

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой (начало луча).

 

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух различных лучей, исходящих из этой точки (лучи – стороны угла, точка – вершина угла).

 

Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвер-нутый, то одна из частей называется внутренней, другая – внешней областью.

 

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Сравнение отрезков и углов

Две фигуры называют равными, если их можно совмес-тить наложением.

 

Точка отрезка, делящего его пополам, то есть на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

 

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

 

Измерение отрезков

Длина отрезка (положительное число, указывающее сколько раз единица измерения укладывается в отрезке) называется также расстоянием между концами этого отрезка.

 

Равные отрезки имеют равные длины.Меньший отрезок имеет меньшую длину.

 

Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Измерение углов

Градус– это угол, равный части развернутого угла.Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

 

Равные углы имеют равные градусные меры.

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

 

Развернутый угол равен 180º.

 

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов

().

 

Угол называется прямым, если он равен 90°.

Угол называется острым, если он меньше 90°.

Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°.

Смежные, вертикальные и перпендикулярные прямые

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180°.

 

 

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Вертикальные углы равны ().

 

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Глава 2. Треугольники.

Теория

 

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежа-щих на одной прямой и трех отрезков попарно их соединяющих.

Точки – вершины треугольника; отрезки – стороны треугольника.

Периметр треугольника –сумма длин всех сторон.

 

Два треугольника называются равными, если они совмеща-ются наложением.

 

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

 

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Признаки равнобедренного треугольника

1) Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный;

2) Если медиана или биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный;

4) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренной.

 

Свойства равнобедренного треугольника

1) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

2) в равнобедренном треугольнике биссектриса треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

 

Свойства равностороннего треугольника

1) в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;

2) в равностороннем треугольнике все углы равны;

3) в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и ме-диана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторо-нам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треуголь-ника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответст-венно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

 

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Виды углов:

 

Аксиомы

1) Через любые две точки можно проходит прямая, и притом только одна.

2) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

3) От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

4) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

 

Следствия из аксиом

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другу.

2) Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

3) Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

 

Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Теория

Прямая и отрезок

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

 

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

 

Отрезок – это часть прямой,ограниченная двумя точками (концами отрезка).

 

Луч и угол

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой (начало луча).

 

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух различных лучей, исходящих из этой точки (лучи – стороны угла, точка – вершина угла).

 

Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвер-нутый, то одна из частей называется внутренней, другая – внешней областью.

 

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

Сравнение отрезков и углов

Две фигуры называют равными, если их можно совмес-тить наложением.

 

Точка отрезка, делящего его пополам, то есть на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

 

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

 

Измерение отрезков

Длина отрезка (положительное число, указывающее сколько раз единица измерения укладывается в отрезке) называется также расстоянием между концами этого отрезка.

 

Равные отрезки имеют равные длины.Меньший отрезок имеет меньшую длину.

 

Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Измерение углов

Градус– это угол, равный части развернутого угла.Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

 

Равные углы имеют равные градусные меры.

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

 

Развернутый угол равен 180º.

 

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов

().

 

Угол называется прямым, если он равен 90°.

Угол называется острым, если он меньше 90°.

Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°.