Смежные, вертикальные и перпендикулярные прямые

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180°.

 

 

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Вертикальные углы равны ().

 

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Глава 2. Треугольники.

Теория

 

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежа-щих на одной прямой и трех отрезков попарно их соединяющих.

Точки – вершины треугольника; отрезки – стороны треугольника.

Периметр треугольника –сумма длин всех сторон.

 

Два треугольника называются равными, если они совмеща-ются наложением.

 

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

 

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

 

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

 

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника

 

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты (или их продолжения) также пересекаются в одной точке.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Признаки равнобедренного треугольника

1) Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный;

2) Если медиана или биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный;

4) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренной.

 

Свойства равнобедренного треугольника

1) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

2) в равнобедренном треугольнике биссектриса треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

 

Свойства равностороннего треугольника

1) в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;

2) в равностороннем треугольнике все углы равны;

3) в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и ме-диана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторо-нам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треуголь-ника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответст-венно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.