Классическое Уравнение Лапласа

(Если q_V = 0)

 

Условия однозначности.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение, необходимы условия однозначности. Их количество определяется порядком уравнения, а так же тем, является задача стационарной или нестационарной.

Для стационарной задачи необходимы следующие условия однозначности:

1) Задание формы и объёма области исследования.

2) Начальные условия.

Только для уравнений теплопроводности начальным условием является задание температуры как функции координатной области исследования, включая границу в фиксированный момент времени, который называется начальным моментом и обычно принимается за ноль.

Математически это записывается следующим образом: если m есть совокупность координат точки области, то тогда начальное условие – есть поле температур для заданных координат:

                                             (*)            m V

t₀ =0 – точка отсчёта.

Не во всех задачах теплопроводности условие (*) задаётся именно таким образом. Иногда оно имеет вид:

Будем обозначать нестационарную задачу следующим условием:

               ;         а стационарную -      

 

 

Условия однозначности включают и граничные условия нескольких типов (родов) – это есть задание температур или других параметров на поверхности, ограничивающей среду.

 

                               

причём: ; - произвольная.

Если нет условий первого рода – задача решений не имеет.

Граничные условия второго рода – это задание плотности теплововго потока на поверхности:

              по Фурье

                                                                                                                                          

              F

 

- это поток для среды, нами изучаемой.

Граничные условия третьего рода формируется как задание непрерывности проекции плотности теплового потока на нормаль. Записывается это сочетанием закона Фурье и гипотезы Ньютона-Рихмана:

                                                                           

q_n                                                                                

                                             _F

 

Граничные условия третьего рода могут быть усложнены; если имеется изучаемая среда с высокой температурой (t > 350⁰ C), то соответствующая среда имеет компоненту теплового излучения. Граничные условия IIIа в этом случае будут переписаны следующим образом:

 

                                                                          

                                     ^F

                                                                              По Стефану-

                                                                         -Больцману

 

Некоторые авторы выводят граничные условия четвёртого рода (условие «сшивки»): если есть потоки субстанции, то на границе ни количество субстанции, ни её поток скачками меняться не могут. Граница является стоком, если такой скачок есть.

Граничные условия третьего рода нельзя использовать, если неизвестен коэффициент теплоотдачи a. Он как правило сильнейшим образом зависит от температуры. В этом случае нужно использовать гипотезу Фурье:

 

                                                                                    равенство

                                                                             потоков

                                     ^{F                                         F}            ;             

                                                                равенство энергий

                                F                 F                    (условие «сшивки»)

 

 

Задачи на граничные условия четвёртого рода называются сопряжёнными.

 

Геометрическая интерпретация граничных условий третьего рода.

                 жидкость  t     твёрдое тело        

            

                  F       B

                      C                                 

            t _ж      

                              l    A

             n                                                             x

Рассмотрим следующие точки: А,В,С.

;                                 ; найдём l.

Мы имеем:

                                                                                                 (1)                                

 

                            

                                                                                               (2)    

                                                                                                       

 

Сравнивая (1) и (2), мы получаем, что

 

 Если                                              то

 

Любое изменение температурного поля в теле приводит к тому, что пересечение на границе не изменится (точка С)

Решение стационарных задач теплопроводности.