Линейная плотность теплового потока для многослойной цилиндрической стенки.

 

                                   ;     …    ;

 

 

так как                                       

 

                                                          

полное линейное термическое сопротивление многослойной

цилиндрической стенки.

 

        Температурное поле:

Уравнение теплопроводности после первого интегрирования:

Пусть  (не зависит от температуры)

Подставляя в это выражение значение для q_l, получим:

 

 

температурное поле в                   однослойной стенке.

 

Так как плотность теплового потока уменьшается с увеличением радиуса, то кривая имеет следующий вид:

 t₁                                                                                                                          t₂

                 t₂

                           t₃

                                                                            t₁

                                       t₄

Обоснование подобного вида кривой следует из понятия производной и касательной к графику функции. Из математики известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке есть значение производной этой функции в данной точке. Из теории тепломассообмена

известно, что:              .

t                                Если провести к этому графику множество                                касательных, то при увеличении координаты r угол j уменьшается.

                                                  

             t₁                                                                                                              

                                                                                                                            (*)

 

 

                                           t ₂                Как было сказано выше, поток тепла q

                                              r с увеличением радиуса r уменьшается.

                              j                  Если значение l не изменяется, то из

                                                                  выражения (*) следует что значение

                                                               так же уменьшается.

Из графика видим, что уменьшение значения j а значит и     при увеличении r возможно только при данном поведении кривой (кривая вогнутая а не выпуклая).

Какое температурное поле в i - том слое?

Определим граничные значения температур:

 

           

 

 

Температурное поле и плотность теплового потока в шаровой (сферической) стенке.

Заданы:

 

                             Так же заданы граничные условия первого рода:

                                 

 

Здесь не существует торцевого эффекта, задача является одномерной:

Уравнение теплопроводности для нашего случая:

Проинтегрируем:

Рассмотрим два геометрических тела:

1) Шар – может выделять тепло, если есть внутренние источники тепла:

                                   

2) Шаровая (сферическая стенка)

- текущий радиус

 

 

                                 Домножим на :

  (*)

В сферической стенке, полня передаваемая (переносимая) энергия не зависит от радиуса и является величиной постоянной.

Умножим выражение (*) на и проинтегрируем:

 

 

                   ;          умножим на

                    

                                                                       (*)

                                                                     термическое сопротивление

                                                                     шарового слоя.

 

Для многослойной сферической стенки:

Температурное поле:

Рассмотрим простейший вариант: пусть

; подставим значение для Q  из выражения (*):

 

Это температурное поле для шарового слоя (гиперболическая функция).

Решение задач теплопроводности для граничных условий третьего рода.

Плоская стенка. Теплопередача.

 

                 

                     Заданы:

                      Значение коэффициентов теплоотдачи

 

                Среда представляется текучей

Кроме этого известно значение температур жидкости:

 

 

Вследствие того, что  и , отсюда

Граничные условия третьего рода заключаются в том, что нам известна плотность теплового потока:

- граничные условия левой части стенки. 

Рассмотрим связь между плотностью теплового потока и температурой стенки:

(см. решение ранее)
 - граничные условия для правой стенки.

Переписывая наши выражения, получим:

 

Сложив, получим:
Мы получили выражения для плотности теплового потока при теплопередаче

 - термическое сопротивление теплопередаче через плоскую стенку.   

- коэффициент теплопередачи через плоскую стенку  

              - термическое сопротивление материала плоской стенки.

              

                                     - термические сопротивления теплоотдаче.                                                                                                                            

Многослойная плоская стенка. Теплопередача.

Записывая выражение для разности температур между слоями и по гипотезе Ньютона -Рихмана, мы получим следующий результат:

- термическое сопротивление теплопередаче через многослойную плоскую стенку.

- коэффициент теплопередачи через многослойную плоскую стенку.

Цилиндрическая стенка. Теплопередача.

 

 

 

                  Заданы: 

                 

 

Нам известно, что:

 

    (см. решение ранее)

 

Переписывая наши выражения для разности температур и сложив их, получим:

где: - термическое сопротивление теплопередачи через цилиндрическую стенку

- термическое сопротивление теплопроводности стенки.

- линейное термическое сопротивление теплоотдаче                           через цилиндрическую стенку

Многослойная цилиндрическая стенка. Теплопередача.

 

где: - линейное термическое сопротивление теплопередаче для многослойной цилиндрической стенки.

- линейный коэффициент теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку.

Запишем связь между плотностями теплового потока, учитывая что в цилиндрической стенке:

где - любой текущий радиус:

- передаваемое через поверхность тепло.

В нашем случае:

                                                                          

 

 

Плотность теплового потока на единицу поверхности с ростом радиуса уменьшается.

- коэффициенты теплопередачи, отнесённые к поверхности 1 или 2.

Существует понятие тонких цилиндрических стенок.

Возьмём  где

Если можно с достаточной точностью представить как первый член разложения, то это тонкая стенка.

Для тонких стенок выражение для полного количества тепла. передаваемого через цилиндрическую стенку может быть записано в следующем виде.

    (*)

Причём К рассчитывается как для плоской стенки а диаметр d_x берётся по стороне с наименьшим коэффициентом теплоотдачи. Если коэффициенты теплоотдачи близки друг другу то расчётный диаметр является средним арифметическим:

Докажем это:

Учитывая, что для тонкой цилиндрической стенки , запишем:

Если стенка тонкая, то мы можем предположить, что , то есть:

Преобразуем знаменатель, вынося за скобки :

 

Справедливость выражения (*) для цилиндрической тонкой стенки доказана.

 

 

Температурное поле в пластине (бесконечной плоской стенке) с внутренними источниками тепла.

 

 

                                Будем считать, что - известно,

 

 

    

 

 

 

- изотропные источники (равномерно распределённый по стенке),   = const, не зависит от координаты.

             ;                              ;

Воспользуемся граничными условиями:

                   ^x=0

x = d:

              _x=d            

                  

Отсюда:

 

Будем предполагать, что экстремум функции существует в точке

 

         

 

 

 

 

1.                           (экстремума нет)

2.                         

3.                         

4.                    

 

Если пластину делим серединной плоскостью, то существование экстремума в левой полуплоскости невозможно!!!