Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть  является решением дифференциального уравнения . График функции  называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки  и угловым коэффициентом касательной  к интегральной кривой в той же точке.

Если через  обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке  и положительным направлением оси , то , а , следовательно, . Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение  равносильно заданию в области определения функции  поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением  одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. . Пример. Изоклинами уравнения  является семейство окружностей.

 

Обобщение результатов на линейные уравнения n-го порядка

 

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Взять уравнение , откинуть правую часть:  – и найти общее решение.

2) Необходимо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

3) На третьем этапе надо составить общее решение  неоднородного уравнения. .

Пример

 

Решение:

1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур  и обнуляем правую часть:

 

 

Составим и решим характеристическое уравнение:

 

 

 – получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

 

 

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения

 

 

Частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени:

,

 

где  – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа).

Найдём первую и вторую производную:

 

 

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

 

 

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

 

 

Подставляем найденные значения  в наш исходный подбор частного решения

 

:

 

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

 

 

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

 

 

Ответ: общее решение:

 

 

Проверим метод неопр. Коэффициентов, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Найдем первую и вторую производную:

 

 

Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

 

 

 

– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  найдено правильно.

 

12. Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-ого порядка

 

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

 

.

 

Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е.  для , то, умножая уравнение на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

 

(20)

;

 

дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным.

 

. (21)

                                       (1)

                                 (2)

 

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка.

                                          (3)

 

Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).

Простейшие случаи понижения порядка.

1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k-1 включительно, то есть

 

.                                           (4)

 

В этом случае порядок может быть понижен до  заменой . Если из этого уравнения выразить  тогда решение y можно определить k-кратным интегрируемым функции p.

Пример.

 

.

 

2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного  (5)

В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой

 

.

 

Пример.

 

 

3. Левая часть уравнения

 

                                                 (6)

 

есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка. . Если - решение последнего уравнения, следовательно, существует . Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения.

Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на  поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающие  в ноль) или мы можем потерять решение, если  разрывная функция.

Пример.

4. Уравнение

 

                                                    (7)

 

однородно относительно  и его производных.

 

.

 

Или , где показатель определяется из условий однородности.

Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой:

 

.

 

Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность функции F , то в итоге в получим:

 

.

 

Пример.

 

.

 

13. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы решений однородного ОДУ

 

1) Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_m(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x),y₂(x), ..., y_m(x) из C_m-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

 

 

Доказательство: Так как функции  линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество  на . Дифференцируя его  раз, получим систему уравнений

 

 

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение  (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

2) Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество

 

 

Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функции y₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

 

 

14. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка

 

Функции  называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что . (4)

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции  называются линейно независимыми на . Система из  линейно независимых на интервале  решений однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на  коэффициентами  называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме, произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

 

, (5)

где  - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где  - произвольные постоянные, а  - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

 

15.     Разностные уравнения, определение порядка уравнения

 

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [difference equations] — уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x₁, x₂, ..., x_n.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность

 

y = y(t+1) – y(t),

 

которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности

 

y = y(t) – y(t–1)

 

— левая, а приведенная выше — правая. Можно определить вторую разность:

Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –

– 2y(t + 1) + y(t)

 

и разности высших порядков

 

Δⁿ⁼Δ(Δ(n-1)*y(x)).

 

Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:

 

f [y(t), Δy(t), ..., Δⁿy(t)] = 0.

 

Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек

 

y(t), y(t+1), ..., y(t+n).

 

При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Δt стремится к нулю.

 

16. Общий вид решения уравнения вида y(t+1) – y(t) = f(t)

 

y(t+1) – y(t) = f(t)

∆y(t)=f(t)

t=0: y(1)-y(0)=f(0) => y(1)=f(0)+y(0)

t=1: y(2)-y(1)=f(1) => y(2)=f(1)+y(1) t=k: y(k)=y(0)+ =C+

 

17. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t)*p(t)

 

y(t+1) = y(t)*p(t)

y(1)=p(0)*y(0)

y(2)= p(1)*y(1)= p(1)*p(0)*y(0)

k-1 k-1

y(k)=  p(m)*y(0)= C*  p(m)

m=0 m=0

 

18. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)

 

y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)

y(t)=u(t)*v(t)

u(t+1)*v(t+1)-p(t)*u(t)*v(t)-f(t)=0

u(t+1)*(v(t+1)-v(t)-v(t)*(p(t)u(t)u(t)-u(t+1)-t(t)=0

u(t+1)=p(t)u(t)

k-1

u(k)=C*  p(m)

m=0

t

v(t+1)-v(t)=f(t)/u(t+1)= f(t)/ C*∏(m)=g(t)

m=0

v(t+1)=v(t)+g(t)

t

v(t+1)=C₂ + Σg(k)

k=0

t k

v(t+1)=C₂ + Σ f(k)/C₁ ∏ p(m)

k=0 m=0

t-1 k

v(t)=C₂ + Σ f(k)/C₁ ∏ p(m)

k=0 m=0

 

k-1

u(t)=C₁ ∏ p(m)

m=0

t-1 k-1

y(t)=u(t)*v(t)= (C₂ + Σ f(k)/C₁ ∏ p(m)

k=0 m=0

 

19. Фундаментальная система решений однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

 

Фундаментальной системой решений однородного линейного разностного уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения или, проще говоря, Фундаментальными решениями уравнения называют такие решения, из которых можно сконструировать все остальные решения.

 

Между линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка и линейными разностными уравнениями n-го порядка много общего.

Фундаментальная система решений
1) решения л.о, D:y 2)  л.н.з., т.е Необходимое и достаточное условие	1) решение л. о. Р. у 2)  л.н.з Необходимое и достаточное условие

 

Рассмотрим следующие случаи для построения фундаментальной системы решений(ф.д.м.)

1)  -различные вещественные корни

 

Ф.С.Р,

 

2) Среди вещественных корней есть кратные q_i-кратность r_i

 

соответствующие частные решения

 

3) Если

 

 

4. Если -корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:

 

Заметим, что в любом случае Ф.С.Р. состоит из «n» частных решений

 

 

Тогда общее решение однородных уравнений:

 

 

20. Общий вид решения неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

 

Пусть задано неоднородное разностное уравнение /см.(2)/

 

 

Требуется определить решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ....,

Последовательность решения разностного уравнения (2) такова:

1. Найти общее решение  однородного уравнения

 

 

2. Найти частное решение  неоднородного уравнения.

3. Записать общее решение неоднородного уравнения

 

,

 

где  - общее решение однородного уравнения

4. Определить постоянные С₁ , С₂ , ... , С_k, используя заданные начальные условия.

Пример 7. Найти решение неоднородного уравнения

 

 

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения имеем в виде

 

 

подставляем  в уравнение

 

;

;

,

 

Следовательно .

2. Общее решение однородного уравнения:

 

,  ,  ;

частное решение ;

общее решение: .

 

3. Общее решение неоднородного уравнения:

 

.

4.

5. Определяем постоянную С:

 

.

 

Искомое решение имеет вид

 

.

 

Пример 8. Найти решение неоднородного разностного уравнения

 

 

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

 

,

 

подставляем  в исходное уравнение

 

;

 

Следовательно .

2. Общее решение однородного уравнения:

 

,  ,  ;

.

 

3. Общее решение неоднородного уравнения:

.

 

6. Определяем постоянную С:

 

, т.е. С=1.

 

Искомое решение имеет вид

 

.

 

Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть  является решением дифференциального уравнения . График функции  называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки  и угловым коэффициентом касательной  к интегральной кривой в той же точке.

Если через  обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке  и положительным направлением оси , то , а , следовательно, . Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение  равносильно заданию в области определения функции  поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением  одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. . Пример. Изоклинами уравнения  является семейство окружностей.