Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

 

 

Дифференциальные уравнения вида

где a,b,c – числа, называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

 

 

где yо – общее решение однородного уравнения, а yч – какое-нибудь решение неоднородного уравнения (частное решение).

 

 

Пример 7. Решить задачу Коши

Решение. Найдем сначала общее решение однородного уравнения

Для этого составим характеристическое уравнение:

 

 

Это уравнение имеет два различных вещественных корня:

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция

Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения

 

 

Будем искать его в виде

 

 

Тогда

 

 

Подставив эти выражения в уравнение, получим:

 

 

Теперь можно выписать общее решение неоднородного уравнения:

Вычислим производную:

 

 

Воспользовавшись начальными условиями, получим систему уравнений:

 

 

Искомое решение задачи Коши имеет вид:

(Как мне кажется, в последней строчке здесь ошибка, т.к. наши найденные C1 и C2 здесь подставили в y’, а не в y)

 

10. Отыскание частного решения линейных неоднородных ОДУ для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов

 

Рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений вида

 

,

 

где p и q - действительные числа.

Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y^* линейного неоднородного уравнения.

 

а) .

 

Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

 

,

 

где

- неопределенные коэффициенты.

Отсюда

 

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество

 

,

Откуда

 

.

 

Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y^* будет вполне определено.

Если , то частное решение y^* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде

 

,

 

когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) - многочлен P(x) произвольной степени.

 

б) .

 

Частное решение ищем в виде

 

,

 

где A - неопределенный коэффициент.

Отсюда

 

.

 

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e ^bx будем иметь

 

.

 

Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то

 

.

 

Если b - корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y^* = Axe^bx , когда b - однократный корень, и в виде y^* = P(x) e^bx , когда b - двукратный корень.

Аналогично будет, если f(x) = P(x) e^bx , где P(x) - многочлен.

 

в) . (a и b не нули одновременно).

 

В этом случае частное решение y^* ищем также в форме тригонометрического двучлена

 

,

 

где A и B - неопределенные коэффициенты.

Отсюда

 

.

 

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

.

 

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому

 

.

 

Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда

 

 

(или когда - корни характеристического уравнения).

В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде

 

.