Определение перемещений в стержневых системах от силового воздействия

Пусть на некоторую стержневую систему (см.рис.6.1) действует произвольная нагрузка. Внутренние силы, соответствующие этому состоянию, обозначим индексом F. Таким образом, на элемент конструкции длиной ds в этом состоянии действуют внутренние силы

Рис.6.1. Грузовое состояние конструкции

Пусть требуется определить перемещение точки i в заданном направлении. Приложим в этом направлении единичную силу F_i =1(рис.6.2). Внутренние усилия, соответствующие этому состоянию, обозначим индексом i и чертой сверху. Таким образом, внутренние силы i -ого единичного состояния есть

Рис. 6.2. Единичное состояние конструкции

Применим принцип возможных перемещений: если механическая система находится в равновесии, то суммарная работа внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых перемещениях, не противоречащих кинематическим связям системы, равна нулю.

При этом в качестве возможного будем рассматривать заданное состояние, а в качестве действительного — единичное состояние.

Математическая запись принципа возможных перемещений имеет вид:

(6.1)

В уравнении (6.1) А_iF — работа внешних сил единичного состояния на перемещениях грузового, V_iF - работа внутренних сил единичного состояния на перемещениях грузового.

Работа внешних сил находится так:

 

(6.2)

т.к. F_i=1.

Работу внутренних сил единичного состояния на перемещениях грузового найдем сначала в пределах элемента ds, причем сделаем это отдельно для каждой составляющей внутренних сил.

Растяжение-сжатие

 

Внутренние силы,соответствующие растяжению или сжатию,показаны на рис.6.3.

 

Рис.6.3. Внутренние силы, соответствующие растяжению (сжатию)

Удлинение элемента ds в грузовом состоянии равно:

Работа внутренней продольной силы единичного состояния на этом перемещении равна:

(6.3)

Кручение

Внутренние силы, соответствующие кручению, показаны на рис.6.4.

Рис.6.4. Внутренние силы, соответствующие кручению

Угол закручивания элемента ds в грузовом состоянии равен:

Работа внутреннего крутящего момента единичного состояния на этом перемещении равна:

(6.4)

 

Изгиб в плоскости xoy

Найдем работу изгибающих моментов (рис.6.5).

Взаимный угол поворота сечений элемента ds в грузовом состоянии определяется формулой (см. курс сопротивления материалов):

Рис.6.5.Изгиб в плоскости xoy

Работа внутренних изгибающих моментов единичного состояния на данном перемещении равна:

(6.5)

Аналогично для плоскости xoz:

(6.6)

Сдвиг в плоскости xoy

Угол сдвига в плоскости xoy элемента ds, обусловленный действием поперечной силы Q_y, (рис.6.6) определяется по закону Гука: Сдвиг правой грани элемента относительно левой приводит к ее линейному смещению на величину:

.

(6.7)

Рис.6.6. К определению работы поперечной силы

На элемент площади dA в единичном состоянии действует сила . Работа силы в пределах площадки dA равна:

(6.8)

Работа сил в пределах всего сечения:

(6.9)

Согласно формуле Журавского следовательно:

(6.10)

Тогда:

где	(6.11)
Аналогично для плоскости xoz имеем:	(6.12)

Работа V_iF для всей конструкции:

(6.13)

Подставляя A_i,F и V_iF в формулу (6.1), находим:

(6.14)

Таким образом, получена универсальная формула для вычисления перемещений от силового воздействия в стержневых системах. Эта формула называется формулой или интегралом Мора (по имени автора).

При расчете плоских стержневых систем можно пренебречь слагаемыми, определяемыми продольными и поперечными силами (ввиду их небольшого вклада). В этом случае интеграл Мора записывается в виде:

.

При определении перемещений в шарнирно-стержневых системах (фермах) в этой формуле остается только одно слагаемое:

,

Если продольная сила по длине стержней не меняется, то формула принимает вид:

.

Формула Мора для конструкций, работающих на изгиб (при условии, что жесткости стержней по длине стержней не изменяются), записывается так:

Правила вычисления интеграла Мора:

По Верещагину:

где площадь грузовой эпюры, — ордината единичной эпюры, взятая под центром тяжести грузовой.

По формуле Симпсона: