Многомерное нормальное распределение

Плотность нормального распределения имеет вид

(3.26)

где - вектор математического ожидания случайного вектора X;

- ковариационная матрица случайного вектора X;

- определитель ковариационной матрицы.

Если раскрыть квадратичную форму в фигурных скобках выражения (3.26), то плотность нормального закона можно записать в виде

(3.27)

где - элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной матрице случайного вектора ; - математическое ожидание величины ;

;

- алгебраическое дополнение элемента матрицы ковариации .

В силу симметрии ковариационной матрицы , обратная ковариационная матрица также обладает свойством симметрии:

Таким образом, для описания нормального закона распределения системы п случайных величин нужно знать следующие величины:

математических ожиданий: ; элементов ковариационной матрицы (из которых дисперсий).

На главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин.

Если нормально распределенные СВ не коррелированы, то ковариационная матрица становится диагональной:

В этом случае определитель будет равен произведению диагональных элементов:

,

а обратная ковариационная матрица также будет диагональной:

Следовательно, для нормально распределенной системы некоррелированных СВ совместная плотность имеет вид:

(3.28)

где

Как следует из (3.28 ) нормально распределенная система некоррелированных случайных величин представляет собой нормально распределенную систему независимых случайных величин, так как совместная плотность системы равна произведению плотностей отдельных величин , входящих в систему. Таким образом, для нормально распределенной системы п СВ из некоррелированности отдельных величин следует их независимость.

 

Любая подсистема случайных величин входящая в нормально распределенную систему также распределена по нормальному закону, зависящему от математических ожиданий и элементов ковариационной матрицы.

Можно определить условную плотность распределения подсистемы СВ вычисленную при условии, что остальные случайные величины входящие в систему, приняли определенные значения:

, (3.29)

где -нормальная плотность распределения системы случайных величин ,

определяемая по формуле (2.28); - нормальная плотность распределения подсистемы случайных величин . При этом закон распределения (2.29) будет тоже нормальным.

В инженерных приложениях чаще всего имеют дело с условным законом распределения случайной величины вычисленным при условии, что остальные случайные величины, входящие в систему, приняли определенные значения: . Этот условный закон будет нормальным с характеристиками

(3.30)

(3.31)

где - элемент матрицы , обратной по отношению к ковариационной матрице .

Условное математическое ожидание представляет собой линейную функцию (п —1) переменных , поэтому поверхность регрессии на представляет собой гиперплоскость в -мерном пространстве.

Условная плотность распределения СВ , при условии, что равна

(3.32)

Вероятность попадания случайной точки в n – мерный прямоугольный параллелепипед R_n со сторонами, параллельными координатным осям выражается через функцию Лапласа:

(3.33)

где — координаты границ прямоугольного параллелепипеда R_n в направлении оси — м. о. и с к о- случайной величины , Ф₀ (z)—функция Лапласа.

Если нормально распределенные СВ независимы (не коррелированы) и при этом , то их плотность распределения может быть записана в виде:

(3.34)

которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы п СВ Найдем уравнение -мерного гиперэллипсоида равной плотности, в который попадает случайная точка . Уравнение гиперэллипсоида можно получить из условия:

откуда

(3.35)

При п = 2 получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости

(3.36)

Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны:

Найдем вероятность попадания СВ в область , ограниченную эллипсом (3.36).

Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат :

Якобиан этого преобразования Тогда . При этом уравнение эллипса преобразуется в уравнение окружности радиуса . Следовательно

 

 

 

Лекция 4. Числовые характеристики и законы распределения функций случайных величин. Характеристические функции. Линеаризация функций случайных величин

1. Числовые характеристики функций случайных величин. Если — дискретная или непрерывная случайная величина с известным законом распределения и где — неслучайная функция, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины в случае, если они существуют, могут быть найдены по формулам

(4.1)

Аналогичные формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины , которая является неслучайной функцией . Таким образом, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X. Сформулированное правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных переменных. Например, если , то

(4.2)

Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства математического ожидания и дисперсии:

1. Для любых случайных величин

- свойство линейности. (4.3)

1. Для любых случайных величин

(4.4)

где

1. (4.5)
2. - неравенство Коши-Буняковского.
3. Если и независимы, то

(4.6)

Свойство 1 может быть записано в более общей форме в матричных обозначениях:

(4.7)

где X — случайный n-мерный вектор-столбец, — неслучайный -мерный вектор-столбец, компоненты которого равны математическим ожиданиям случайных компонент вектора X,

А, В и С — постоянные матрицы порядков соответственно