Линеаризация функций случайных величин.

Рассмотренный выше метод нахождения числовых характеристик функций случайных величин без определения закона распределения этих функций применим в основном к линейным функциям.

На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений.

Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах измененияаргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции, Конечно_: при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.

При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.

Рассмотрим вначале задачу линеаризации функции одного случайного аргумента.

Пусть имеется случайная величина X и известны ее числовые характеристики: m_x и D_x.

Допустим, что практически возможные значения случайной величины X ограничены пределами т. е.

Имеется другая случайная величина У, связанная с X функциональной зависимостью:

(4.8)

причем функция хотя не является линейной, но мало отличается от линейной на участке .

Требуется найти числовые характеристики величины - математическое ожидание т_у и. дисперсию D_y.

Рассмотрим кривую на участке и заменим её приближенно касательной, проведенной в точке с абсциссой m_x. Уравнение касательной имеет вид:

(4.9)

Учитывая малое отличие прямой (4.9) от функции (4.8) на интервале , заключаем, что случайные величины X и Y приближенно связаны линейной зависимостью:

(4.10)

К линейной функции (3.10) можно применить известные приемы определения числовых характеристик линейных функций. Так как математическое ожидание аргумента в (4.10) равно нулю, то математическое ожидание функции (4.10):

(4.11)

Дисперсия величины определится по формуле

(4.12)

а СКО

(4.13)

Очевидно, что формулы (4.11), (4.12), (4.13) являются приближенными.

Таким образом, чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента.

Рассмотрим линеаризацию функции нескольких случайных аргументов.

Имеется система случайных величин (n – мерный случайный вектор):

,

заданы числовые характеристики системы: математические ожидания

и ковариационная матрица

Случайная величина есть функция аргументов :

(4.14)

причем функция не линейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов («почти линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины - математическое ожидание и дисперсию .

Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию

(4.15)

Разложим функцию (4.15) в ряд Тейлора в окрестности точки сохраняя члены только до первого порядка малости включительно

Введём обозначение:

Тогда зависимость (4.14) можно приближенно заменить линейной зависимостью

(4.16)

Имея в виду, что центрированные аргументы имеют математические ожидания, равные нулю, и ту же ковариационную матрицу , найдем числовые характеристики линейной функции (4.16):

(4.17)

(4.18)

(4.19)

где - коэффициент корреляции величин .

Если величины не коррелированы, т.е. при , то

(4.20)

Формулы (4.18)-(4.20) находят широкое применение в практических задачах.

В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода линеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью линеаризована.

В этих случаях для проверки применимости метода линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но и некоторых последующих членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами-

Пример

Расстояние от некоторой точки О до объекта R (рис. 1 ) определяется следующим образом:

 

 

Рис. 1

 

измеряется угол , под которым виден объект из точки О; далее, зная линейный размер объекта X и считая угол малым, определяют расстояние по приближенной формуле:

.

Линейный размер объекта X, видимый из точки О, в зависимости от его случайного поворота может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угол определяется с точностью до 0,0001 радиана. Расстояние велико по сравнению с размером объекта X. Угол измеряется без систематической ошибки. Результат измерения радиана. Найти приближенно среднее квадратическое отклонение ошибки в определении расстояния .

Решение. Применяя метод линеаризации, имеем

Линейный размер будем считать равномерно распределенным в интервале (8; 12) - :

;

Результат измерения угла будем считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением (в соответствии с правилом «трёх сигм»): . Тогда