Пункт 3. Линейные уравнения.

Уравнение вида называется линейным.

Если , то оно называется линейным однородным.

При этом, не может быть тождественно равно 0, иначе вообще нет слагаемого с производной , то есть уравнение не являлось бы дифференциальным. Но тогда можно поделить всё уравнение на и свести к виду .

 

Линейные однородные уравнения фактически являются уравнениями с разделяющимися переменными. Действительно, ,

где первообразная, с точностью до константы. В итоге, , то есть общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: константа, умноженная на экспоненту в степени первообразной от коэффициента , взятую с другим знаком.

Пример. Решить уравнение .

.

Мы видим коэффициент , её первообразная , соответственно в ответе есть .

 

Пример. Решить уравнение .

Можно рассмотреть , первообразная равна ,

тогда = .

Впрочем, можно его решить и просто как уравнение с разделяющимися переменными:

.

 

Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (другое название: метод вариации произвольной постоянной).

Предположим, что на месте C некоторая неизвестная функция, и ищем решение в виде: .

Тогда .

Подставим эти в неоднородное уравнение .

+ .

Два слагаемых получились одинаковые, и они сокращаются, осталось:

= .

Отсюда можно выразить . .

что состоит в итоге из 2 слагаемых:

первообразной от и константы . Поэтому решение однородного обязательно окажется отдельным слагаемым в общем решении неоднородного.

.

 

В конкретных примерах, это выглядит менее громоздко:

Пример. Решить линейное уравнение .

1 шаг. Решаем соответствующее однородное уравнение. . - общее решение однородного.

2 шаг. Методом Лагранжа решаем неоднородное.

Ищем решение в виде: . Ищем производную:

= . Всё это подставим в неоднородное:

, тогда .

Тогда = .

Теперь подставим это в , получается

= .

Общее решение неоднородного состоит из двух слагаемых: частное решение неоднородного (его мы и искали на 2-м шаге методом Лагранжа) и общее решение однородного, которое нашли на 1-м шаге, и оно воспроизвелось само в конце 2-го шага. Это происходит из-за того, что всегда ищется с помощью её производной, а значит, в ней присутствует слагаемое .

Проверка. Можно подставить частное решение неоднородного, и это слагаемое само по себе тоже является решением:

Выполняется ли ?

= = . Верно.

 

Пункт 4. Уравнения Бернулли.

Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Так как коэффициент не тождественно равен 0, то на него можно поделить, поэтому будем рассматривать в виде: .

Отличаются от линейных только наличием в правой части.

Если n=0 получается линейное неоднородное .

Если n=1 то ещё лучше, получается однородное:

то есть .

При , получается уже собственно, уравнение Бернулли. Оно является обобщением линейного уравнения.

Алгоритм решения.

1) Разделить на . Получится .

2) Сделать замену . Тогда оно сведётся к линейному по .

3) решить линейное (в 2 шага, сначала однородное, потом неоднородное)

4) сделать обратную замену: так как , то .

 

 

Докажем подробнее, как и почему сводится к линейному.

, тогда по правилам дифференцирования композиции. Получили, что .

Тогда уравнение сводится к такому виду:

, или .

Это уже линейное неоднородное уравнение.

ЛЕКЦИЯ № 7. 28. 03. 2017