Область сходимости функционального ряда.

Определение. Множество называется областью сходимости, если для каждой точки соответствующий числовой ряд сходится.

Если ряды из комплексных функций, то это область в плоскости, например круг, а если действительные функции, то какой-либо интервал или объединение интервалов на действительной прямой.

 

Метод нахождения области сходимости. применять те же самые признаки (Даламбера, Коши) но только для «произвольного» .

То есть, в пределе так до конца и остаётся переменная. а затем решить неравентво.

Пример. Найти область сходимости ряда .

= = < 1.

Если раньше, в теме «числовые ряды» мы просто получали в пределе какое-то число и могли сказать, что оно больше либо меньше 1, то теперь получили функцию от , т.е. при одних значениях больше 1, а при других меньше. Надо решить неравенство и найти, где это выражение меньше 1.

это интервал, где есть абсолютная сходимость.

Там, где , то есть ряд расходится.

При признак Даламбера не даёт ответа, надо проводить исследование поведения ряда в граничных точках в ручном режиме.

Подставим . Получим ряд он расходится.

Подставим . Получим ряд он тоже расходится, не выполнен необходимый признак, т.е. слагаемые не уменьшаются к 0. Итак, граничные точки не добавятся к области сходимости, и ответ остаётся таким: .

 

Пример. Найти область сходимости ряда .

= = = .

Теперь решим неравенство . Это означает - вот область абсолютной сходимости.

Исследуем граничные точки.

При : ряд , он расходится (гармонический ряд, изучали ранее). При : ряд , знакочередующийся, сходится по признаку Лейбница, но условно, так как это и есть ряд из его модулей а он расходится. итак, ответ: область сходимости .

 

Пример. Найти область сходимости .

Решение. Извлечём корень n порядка из модуля. Получим .

Решим неравенство , т.е. , что равносильно , то есть . Решением неравенства будет множество . Подставляя граничные точки, получаем расходимость:

При :

слагаемые не стремятся к 0, не выполнен необходимый признак, ряд расходится.

При : по той же причине ряд расходится.

Ответ. область сходимости .

 

Степенные ряды.

Общий вид степенного ряда: , где числовые коэффициенты. В этом ряде только положительные степени одного и того же выражения и константа (что получается при нулевой степени). Возможно, что часть коэффициентов равна 0, то есть некоторые степени пропущены.

Теорема 1 (Абеля). 1) Если ряд сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой , причём абсолютно.

2) Если ряд расходится в точке то он расходится в любой точке, для которой .

Доказательство. Сходимость в точке ряда означает, что . Если этот ряд сходится, то согласно необходимому признаку, слагаемые стремятся к 0. Тогда среди них есть максимальное по модулю, и таким образом, они ограничены в совокупности, некоторой константой , т.е. .

Теперь рассмотрим ряд в произвольной точке , которая ближе к началу координат на комплексной плоскости.

Итак, взяли точку, для которой . Тогда .

Для доказательства абсолютной сходимости, рассмотрим ряд, состоящий из модулей: = (домножили и поделили). При этом . Тогда = = = то есть меньше или равно некоторой сходящейся геометрической прогрессии.

Итак, , то есть ряд сходится, то есть сходится абсолютно.

Пункт 2. Нужно доказать, что если ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке, которая дальше от начала координат. Допустим, что в расходимость, но есть сходимость в какой-то более далёкой точке . Но тогда это противоречило бы уже доказанному пункту 1, так как из сходимости в следовала бы сходимость в более близкой к началу координат точке .

 

Следствие. Область сходимости степенного ряда есть круг.

(в R интервал)

 

Действительно, по теореме 1, во всех более близких к центру точках - сходимость, а если нашлась точка, где ряд расходится, то сразу же во всех, более далёких от центра - тоже расходимость. Тогда область есть круг.

Примечание. Центр круга сходимости это точка . Мы доказали теорему Абеля для центра в точке 0 для простоты и ясности обозначений, но полностью аналогичные выкладки верны и для центра в любой другой точке.

 

Но на самом деле, выше был рассмотрен случай в комплексной плоскости. А для рядов из действительных степенных функций , пересечение круга с действительной прямой порождает симметричный интервал с центром в точке . Таким образом, область сходимости это интервал .

 

Теорема 2. Формулы радиуса сходимости степенного ряда:

и .

Заметим, что в этих формулах обозначает не просто n-е слагаемое, а лишь его часть, сам числовой коэффициент без степенной функции, а дроби обратные по сравнению с теми, как в признаках Даламбера или Коши. Рассмотрим доказательство, чтобы понять, почему так происходит.

Доказательство.

Применим к степенному ряду признак Даламбера.

= , из чего следует , т.е. .

Вот и получилось условие, задающее круг в комплексной плоскости. Это можно считать также вторым, независимым доказательством того следствия из теоремы Абеля, где говорилось, что область сходимости есть круг.

Докажем вторую формулу.

Применим к степенному ряду признак Коши.

= , т.е. , т.е.

.

Пример. Найти радиус сходимости ряда .

Отбросим степенную часть и извлечём коэффициент.

, тогда . Тогда = .

Можно считать и по второй формуле: = .

Итак, центр в точке 1, а радиус 2, то есть область сходимости - интервал . Примечание. Чуть раньше мы решали этот же пример другим способом, просто по признаку Даламбера, а здесь по формулам радиуса R.

 

Пример. Найти радиус и область сх. ряда .

= . R=5, интервал сходимости .