Понятие степенной средней. Правило мажорантности.

Вес рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показа­телем степени. Формулы средних величин могут быть получены на основе степенной средней, для которой определяющей функцией является уравнение:

, откуда .

В дальнейшем при написании формул средних подстрочные значки i, n использоваться не будут, но подразумевается, что суммируются все произведения

В зависимости от степени k получают различные виды средних величин, их формулы представлены в следующей таблице.

Таблица - Виды средних степенных величин

Значение, k	Наименование средней	Формула средней
простой	взвешенной
-1	Гармоническая		; где
Используется в случае, когда веса равны	Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов
	Геометрическая (после преобразований)
Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста
	Арифметическая		;
Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным	Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок
	Квадратическая
Используется при расчете показателей вариации. А также если при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.
	Кубическая
Используется когда необходимо по условиям задачи сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, например, при определении средней длины стороны и кубов

Как видно из данных табл., взвешенные средние учитыва­ют, что отдельные варианты значений признака имеют различную численность, поэтому каждый вариант «взвешивают» по своей частоте, т.е. умножают на нее. Частоты f при этом называются статистическими весами, или просто весами средней. Однако не­обходимо учитывать, что статистический вес - понятие более широкое, чем частота. В качестве веса могут применяться какие-либо другие величины (в табл. они обозначены буквой w). На­пример, при расчете средней продолжительности рабочего дня по предприятию единственно правильным будет взвешивание по количеству отработанных человеко-дней. Частоты отдельных ва­риантов могут быть выражены не только абсолютными величина­ми, но и относительными - частостями.

Величины степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при различных зна­чениях степени (k), не одинаковы. Чем выше степень k средней, тем больше величина самой средней (правило мажорантности):

и т.д.

(впервые сформулировал профессор А. Я. Боярский)

С помощью этого правила можно проверить правильность расчета средней величины.

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном слу­чае исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. Он состо­ит из нескольких этапов:

1. устанавливается определяющий показатель, т. е. обобщающий показатель совокупности, от которого зависит величина средней;

2. определяется математическое выражение для определяю­щего показателя;

3. производится замена индивидуальных значений средними величинами;

4. решается уравнение средней.

Основополагающее правило при этом заключается в том, что величины, представляющие собой числитель и знаменатель сред­ней, должны иметь определенный логический смысл.