Тема 56. Криволинейная, множественная и ранговая корреляции.

1. Простейшие случаи криволинейной корреляции.

Если график регрессии или изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной.

Например, функции Y на X могут иметь вид: (параболическая корреляция 2-го порядка); (параболическая корреляция 3-го порядка).

Для определения вида функции регрессии строят точки (x; ) и по их расположению делают заключение о примерном виде функции регрессии, принимая во внимание особенности, вытекающие из сущности решаемой задачи.

Неизвестные параметры уравнения регрессии ищут методом наименьших квадратов.

Рассмотрим, например, выборочное уравнение регрессии Y на X: где A,B,C- неизвестные параметры.

Пользуясь методом наименьших квадратов, получают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (вывод аналогичен линейной корреляции).

Найденные из системы параметры подставляют в уравнение (1).

2. Ранговая корреляция, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла и их вычисление.

Допустим, что объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками, т.е. признаками которые невозможно точно измерить, но они позволяют сравнивать объекты между собой, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества, для определённости в порядке убывания.

Пусть выборка объёма и содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками А и В. Для оценки степени связи признаков вводят коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Расположим объекты в порядке ухудшения качества, сначала по признаку А. Припишем объекту стоящему на i-м месте, число-ранг x_i, равный порядковому номеру объекта: x_i=i.

Затем расположим объекты в порядке убывания по принципу В и припишем каждому из них порядковый номер y_i, причём (для удобства сравнения рангов) индекс i при y по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А.

В итоге получим две последовательности рангов:

По признаку А x_1, x₂…x_n

По признаку B y_1, y₂…y_n

Для оценки степени связи признаков А и В служат, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена находят по формуле:

,

где d_i=x_i-y_i

n - объём выборки, абсолютная величина ≤1

Можно оценивать связь между качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Пусть ранг объектов выборки объёма n

по признаку А x_1, x₂…x_n

по признаку B y_1, y₂…y_n

Допустим, что справа от y₁ имеется R₁ рангов, больших y₁; справа от y₂ имеется R₂ рангов, больших y₂, справа от y_n-1 имеется R_n-1 рангов, больших y_n-1

Обозначим R= R₁+ R₂+…R_n-1

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой:

где n-объём выборки