Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

 

 

1. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра

 

Теорема 1. Если сходится равномерно на отрезке то

Доказательство. сходится равномерно на (из определения равномерной сходимости по Гейне) (из теоремы о равномерном пределе последовательности непрерывных функций)

Доказано.

 

2. Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

 

Теорема 2. Если сходится равномерно на отрезке то и

Доказательство. сходится равномерно на отрезке

(по теореме об интегрируемости собственных интегралов) =

Доказано

 

3. Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра

 

Теорема 3. Если

1)

2) сходится;

3) сходится равномерно на то

Доказательство. сходится равномерно на

Доказано.

 

ЛЕКЦИЯ 11

Гамма и бета-функция Эйлера. Формула Стирлинга

1. Гамма и бета-функция Эйлера

 

Многие элементарные функции раскладываются в бесконечные произведения, например, .

С помощью бесконечного произведения можно определять и новые функции, называемые спиральными, например - функцию (гамма-функция):

константа Эйлера, . Проверим, что для всех указанных S бесконечное произведение действительно сходится и определяет некоторую функцию. Проверим сходимость следующего ряда:

.

сходится .

Формула Эйлера: .

Доказательство. Имеем

Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.

Доказано.

Основное функциональное тождество для гамма-функции:

Доказательство. Рассмотрим отношение . По формуле Эйлера получаем:

Доказано.

Пусть

Лемма 1.

Доказательство. По формуле Эйлера

Доказано.

Лемма 2. Для

Доказательство. Сделаем замену тогда

Доказано.

Теорема. (*)

Доказательство.

1. Т.к.

2.

Из этого представления равенство (*) будет вытекать тогда и только тогда, когда

3. Введём вспомогательные неравенства.

(неравенство Бернулли).

Докажем это неравенство методом математической индукции.

При равенство очевидно.

верно.

4. Докажем, что

Докажем, что неравенство из 3. при

Оценим снизу:

Оценка сверху:

Итак,

и по теореме «о двух милиционерах»

Доказано.

Лемма 1.

(подробно это доказывается в курсе теории функций комплексного переменного)

Формула дополнения для гамма-функции

Лемма 2. нецелого справедливо следующая формула дополнения

В частности, при

Доказательство. Имеем по формуле Эйлера

 

Доказано.

Задача. Вычислить

При и бета-функция Эйлера задается равенством:

.

Подынтегральная функция имеет, вообще говоря, две особенности: при и при , поэтому представим интеграл в виде:

.

Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом , а второй – с , которые сходятся соответственно при и и соответственно расходятся при выполнении неравенств и , получаем, что областью определения бета-функции в плоскости является прямой угол , .

Из свойств бета-функции укажем следующие:

1) Для любых и : .

2) Для любых и :

.

3) Для любых

,

Теорема. Для и справедлива формула

. (1)

Замечание. Поскольку гамма - функция определена при всех то формула (1) в теореме 6 позволяет распространить определение функции на все множество вещественных значений , за исключением точек , где либо величина , либо величина равна .

 

2. Формула Стирлинга

 

Изучение эйлеровских интегралов завершаем важ­ной для приложений формулой Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функции при больших значениях аргумента.

Теорема (формула Стирлинга). При имеет место равенство:

,

где , а для величины остатка R выполняются неравенства

.

Отметим, что если воспользоваться соотношением

,

то из теоремы 1 можно получить еще один вариант формулы Стирлинга вида:

.

В частности, при отсюда имеем

Следовательно, справедлива асимптотическая формула

,

которая также называется формулой Стирлинга. Более тщательные вычисления позволяют получить оценку вида для остатка R в асимптотической формуле теоремы. Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину в асимптотической формуле для можно заменить на , где .

 

ЛЕКЦИЯ 12

Евклидово пространство интегрируемых функций. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе. Базисность и замкнутость ортонормированной системы. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля

 

 

1. Евклидово пространство интегрируемых функций

 

Пусть линейное пространство интегрируемых по Риману на отрезке [ a, b ] функций. В нём можно определить скалярное произведение: удовлетворяющее следующим аксиомам скалярного произведения:

1) (нулевая функция – функция, принимающая нулевые значения в точках непрерывности и возможно положительные значения в точках разрыва, мера которых равна нулю, т.е. нулевая функция – это не одна, а целый класс функций).

2)

3)

4)

Линейное пространство со скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Евклидово пространство можно рассматривать как нормированное, в котором норма определяется по правилам: Для такого отображения выполнены все аксиомы нормы:

1)

2)

3) неравенство треугольника, и оно легко выводится из неравенства Коши-Буняковского

В свою очередь неравенство Коши-Буняковского позволяет определить и угол между функциями: В частности, Норма позволяет определить расстояние между функциями и сходимость последовательности функций: Такую сходимость называют среднеквадратичной сходимостью

Сравним равномерную сходимость и среднеквадратичную сходимости на отрезке [ a, b ]. Из равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость:

Обратное неверно.

 

 

 

равномерной сходимости нет.

Пространство является бесконечномерным. В нём линейно-независимую систему, например, образуют функции (система степеней).

Задача. Охарактеризовать мощность пространства

 

2. Ортонормированная система. Задача о наилучшем приближении элемента евклидова пространства по ортонормированной системе

 

Счётная система функций называется ортогональной, если и ортонормированной, если система ортогональная и нормированная, т.е. . Далее будем обозначать ОС – ортогональная система, ОНС – ортонормированная система.

Рассмотрим задачу о наилучшем среднеквадратичном приближении функции по ОНС.

Пусть ОНС. Линейные комбинации вида будем называть полиномами порядка n по этой ОНС. Множество всех таких полиномов порядка n будет образовывать линейное подпространство размерности п, т.е. , с базисом

Задача. Доказать, что ОНС – линейно-независимая система.

Для величина называется величиной наилучшего среднеквадратичного приближения функции f полиномами порядка п по нашей ОНС. Полином называется полиномом наилучшего среднеквадратичного приближения

Теорема. причём

Доказательство. ОНС,

Итак, единственен.

Доказано.

 

3. Ряд и коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Базисность и замкнутость ортонормированной системы

 

Если ОНС, то функциональный ряд называется рядом Фурье функции f по ортонормированной системе а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Фурье.

Частичные суммы ряда Фурье обладают экстремальным свойством: они являются полиномамими наилучшего среднеквадратичного приближения:

Итак, каждой функции из можно поставить в соответствие её ряд Фурье. Какое отношение этот ряд Фурье имеет к функции?

Когда этот ряд в среднеквадратичном сходится к функции: Ответы на эти вопросы зависят от свойств ОНС.

Имеем:

неравенство Бесселя.

ОНС называется базисом в если её ряд Фурье в среднеквадратичном сходится к ней, т.е. можно записать равенство

ОНС называется замкнутой в если множество всех полиномов по система плотно в относительно среднеквадратичной сходимости, т.е.:

ОНС называется полной в если не существует в ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы.

ОНС удовлетворяет равенству Парсеваля, если равна сумме квадратов коэффициентов Фурье, т.е.

Теорема. Все четыре условия на ОНС – равносильные.

Мы докажем более слабый вариант теоремы: является базисом тогда и только тогда, когда она замкнута. И в случае базиса выполняется неравенство Парсеваля.

Доказательство. Необходимость.

Достаточность.

Неравенство Парсеваля:

Доказано.

Для ортогональной системы и необязательно нормированной системы ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье и равенство Парсеваля выглядят следующим образом:

ряд Фурье, у которого коэффициенты Фурье имеют вид: равенство Парсеваля.

 

ЛЕКЦИЯ 13