Тригонометрическая система. Ее ортогональность и замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых функций. Сходимость в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля

 

1. Тригонометрическая система. Ее ортогональность и замкнутость

 

Пусть одномерный тор, можно считать 2 p -периодической, если продолжить ее на всю прямую равенством

 

одномерный тор

 

 

Пусть интегрируемая по Риману функция на Т.

Тригонометрическая система имеет вид

Теорема. Тригонометрическая система ортогональна на Т.

Доказательство проведём в три этапа.

1)

2)

3) Найдём скалярные квадраты:

Доказано.

Теорема. Тригонометрическая система является замкнутой в пространстве

Доказательство. Полиномы порядка n по тригонометрической системе обычно записывают следующим образом: Размерность подпространства тригонометрических полиномов порядка n равна Доказательство теоремы будет осуществлено в несколько этапов с помощью метода промежуточного приближения.

Пусть

1) Любую интегрируемую функцию можно в среднеквадратичном приблизить кусочно-постоянной функцией. Пусть

Т.к. выполнены неравенства

Итак, существует кусочно-постоянная функция .

2) Любую кусочно-постоянную функцию можно в среднеквадратичном приблизить непрерывной 2 p -периодической функцией.

Пусть

 

 

3) Любую непрерывную 2 p- периодическую функцию можно приблизить тригонометрическим полиномом равномерно. Это есть

Теорема Вейерштрасса.

Из связи между среднеквадратичной и равномерной нормы вытекает, что этот полином близок к непрерывной функции и в среднеквадратичном:

4) Подведём итоги: любую интегрируемую функцию можно приблизить в среднеквадратичном тригонометрическим полиномом:

 

2. Тригонометрические ряды Фурье интегрируемых функций

 

Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают следующим образом:

где коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

 

В случае чётной и нечётной функций запись ряда Фурье можно упростить:

Выпишем тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье для функции с периодом

 

3. Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля

 

Из теоремы о замкнутости тригонометрической системы вытекают

Следствие 1. Тригонометрическая система является базисом в пространстве

в среднеквадратичном:

Следствие 2. справедливо равенство Парсеваля

Следствие 3. и для величины наилучшего среднеквадратичного приближения: справедливо равенство

Задача. Сформулировать следствия 1-3 для периодических функций с периодом l.

Пример 1. Написать ряд Фурье для функции

Т.к. разложение в тригонометрический ряд Фурье единственно и наша функция уже является тригонометрическим рядом, то данный ряд и есть ее разложение в ряд Фурье.

Пример 2. Написать ряд Фурье для функции

 

ЛЕКЦИЯ 14