Частные и полное приращения функции

 

Для примера рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки .

Пусть настолько малы, что

, .

О п р е д е л е н и е 8. Частным приращением по х функции в точке называется выражение:

О п р е д е л е н и е 9. Частным приращением по у функции в точке называется выражение:

О п р е д е л е н и е 10. Полным приращением функции в точке называется выражение:

 

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ

О п р е д е л е н и е 11. Частной производной по х функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют обозначения: или

Следовательно, имеем:

О п р е д е л е н и е 12. Частной производной по у функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют обозначения: или

Следовательно, имеем:

 

З а м е ч а н и е 2. Из определения частных производных вытекает метод их вычисления: чтобы найти нужно продифференцировать выражение по по считая величину (величину постоянной.

З а м е ч а н и е 3. Понятия частных приращений, полного приращения, частных производных для функции любого числа переменных вводятся аналогично.

З а м е ч а н и е 4. Процедура вычисления частных производных функции нескольких переменных сводится к вычислению обыкновенной производной этой функции по одной из переменных при условии, что остальные переменные выступают в роли параметров.

Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, действующими для функции одной переменной. Однако требуется каждый раз помнить, по какой переменной вычисляется производная, а какие переменные при этом мысленно фиксируются.

 

П р и м е р 6. Для функции найти частные приращения и полное приращение в точке

Р е ш е н и е. Воспользовавшись определением, вычисляем в точке приращения функции :

Поэтому в точке находим:

О т в е т:

П р и м е р 7. Найти частные производные функции

(2)

и вычислить их значения в точке .

Р е ш е н и е. Считая в формуле (2) переменную постоянной, находим:

При нахождении считаем в формуле (2) переменную постоянной. Тогда находим:

Значения частных производных в точке вычислим, подставив в найденные выше формулы и

О т в е т:

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

 

О п р е д е л е н и е 13. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке ее полное приращение представимо в виде:

(3)

 

где при и не зависят от

Т е о р е м а 1 (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Т е о р е м а 2 (о связи дифференцируемости с существованием частных производных). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по и которые равны, соответственно, А и В:

Т е о р е м а 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные по и то функция дифференцируема в точке и в формуле (3) имеем:

З а м е ч а н и е 5. В случае функции большего (чем два) числа переменных понятие дифференцируемой функции вводится аналогично. При этом естественным образом обобщаются свойства, отмеченные в теоремах 1-3.

О п р е д е л е н и е 14. Функция называется дифференцируемой в области , если она дифференцируема в любой его точке.

 

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

 

Т е о р е м а 4. Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные в этой точке вычисляются по формулам:

(4)

З а м е ч а н и е 6. Для случая функций большего (чем два) числа переменных формулы (4) обобщаются естественным образом. Например, если

где то имеют место аналогичные равенства:

П р и м е р 8. Вычислить если где

Р е ш е н и е. Находим:

Тогда по формулам вычисления частных производных сложной функции получаем:

О т в е т:

7. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

 

Т е о р е м а 5. Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция , как функция одной переменной , дифференцируема в точке и ее так называемая полная производная в этой точке вычисляется по формуле:

.

С л е д с т в и е. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция , как функция переменной , дифференцируема в точке и ее полная производная в этой точке вычисляется по формуле:

Пример 9. Найти полную производную , если и , .

Решение. В данном случае

, , , .

Поэтому, воспользовавшись формулой вычисления полной производной, находим:

Ответ:

П р и м е р 10. Найти (частную производную) и (полную производную), если где

Р е ш е н и е. Вычисляем:

 

Поэтому находим полную производную:

О т в е т:

 

8. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

 

О п р е д е л е н и е 15. Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида:

(5)

где и независимые переменные.

З а м е ч а н и е 7 (свойство инвариантности формы полного дифференциала). Формула (5) справедлива и в случае, когда зависимые переменные.

Например, пусть , где независимые переменные. В этом случае полный дифференциал функции в точке , где вычисляется по формуле (5), причем

 

где

З а м е ч а н и е 8. Правила дифференцирования функции одной переменной сохраняют силу и для функции любого числа переменных. Например, от скольких бы аргументов не зависели функции и справедливы равенства:

З а м е ч а н и е 9. В точке с точностью до бесконечно малых слагаемых высшего порядка относительно можно приближенно считать: то есть

П р и м е р 11. Найти полный дифференциал функции

Р е ш е н и е. Предварительно находим: Тогда, воспользовавшись формулой (5), вычисляем

О т в е т:

 

Пример 12. Найти полный дифференциал функции

Решение. В данном случае , . Поэтому по формуле (5) находим: .

Ответ: .

 

П р и м е р 13. Вычислить приближенно число

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию Пусть Тогда Вычисляем:

 

Следовательно, по свойству дифференциала верно приближенное равенство:

 

О т в е т: