Дифференциалы высших порядков

 

Рассмотрим функцию дифференцируемую в точке

О п р е д е л е н и е 3. Дифференциалом второго порядка функции в точке называется полный дифференциал от ее дифференциала первого порядка, вычисленный в точке :

Аналогично вводится дифференциал n-го порядка функции обозначаемый Это – полный дифференциал от ее дифференциала (n -1)-го порядка, то есть

В случае функции двух переменных справедливы равенства:

(1)

если независимые переменные;

(2)

если функции одной или нескольких переменных.

З а м е ч а н и е 2. Сравнение формул (1) и (2) приводит к выводу: уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности его формы.

З а м е ч а н и е 3. В формулах(1) и (2) следует различать выражения: и дифференциал второго порядка функции

 

При решении многих задач полезно знание следующего утверждения.

Т е о р е м а 2 (аналитический признак полного дифференциала).Пусть функции определены в односвязной области и удовлетворяют условиям:

1) непрерывны в

2) существуют функции и являющиеся непрерывными функциями в области

Тогда, для того чтобы выражение в любой точке области было полным дифференциалом некоторой функции необходимо и достаточно выполнения условия:

 

З а м е ч а н и е 4. Функция о которой говорится в теореме 2, не единственна. Для любой другой функции вида где постоянное число, ее полный дифференциал также совпадает с выражением .

 

П р и м е р 5. Найти полный дифференциал второго порядка функции

Р е ш е н и е. Находим частные производные первого порядка:

Далее вычисляем все частные производные второго порядка:

Следовательно, воспользовавшись формулой (1), находим:

О т в е т:

 

П р и м е р 6. Найти второй дифференциал функции

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

.

Так как в данном случае независимые переменные, то по формуле (1) находим:

О т в е т:

 

П р и м е р 7. Найти функцию, полный дифференциал которой равен выражению:

Р е ш е н и е. В данном примере

Поэтому в любой точке плоскости функции и удовлетворяют всем условиям теоремы 2, а значит, существует.

Для построения функции воспользуемся следующей схемой:

1) Составим систему:

(3)

 

2) Проинтегрируем по первое уравнение этой системы, считая у постоянной величиной:

(4)

где константа интегрирования.

3) Подставим функцию из (4) во второе уравнение системы (3):

4) Решим полученное уравнение:

(5)

где произвольная постоянная.

5) Найдем функцию , подставив (5) в (4):

О т в е т:

ПРИМЕРЫ

 

Найти частные производные второго порядка функции:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. Проверить равенство:

10. Доказать, что если

 

Найти дифференциалы второго порядка функции:

11. 12. 13. 14. 15.

Восстановить функцию по ее полному дифференциалу:

16. 17.

18 19.

 

20. 21. 22.

ОТВЕТЫ

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8.

11. 12.

13. 14.

15. 16. .

17. . 18. . 19. .

20. . 21. . 22. .

§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

 

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

 

Во избежание громоздких обозначений ограничимся рассмотрением, например, случая функции трех переменных.

Пусть – область в трехмерном пространстве. Рассмотрим в области функцию и некоторую фиксированную точку . Пусть – некоторый ненулевой трехмерный вектор.

Проведем через точку луч в направлении вектора и рассмотрим функцию только в тех точках , которые попадают на этот луч.

Пусть . Тогда – приращение функции в точке по направлению вектора .

О п р е д е л е н и е 1. Производной функции в точке по направлению вектора называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции к расстоянию при условии, что и

Используется обозначение: Следовательно, имеем:

(1)

 

Т е о р е м а 1. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в точке существует производная функции по направлению вектора и справедливо равенство:

где направляющие косинусы вектора

Замечание 1. Если функция дифференцируема в точке , являющейся внутренней точкой области , то в точке существует производная функции по любому направлению .

З а м е ч а н и е 2. Производные являются частными случаями производной по направлению, когда совпадает, соответственно, с направлением оси Ох, Оу или Оz.

Пример 1. Для функции найти производную в точке в направлении вектора , где .

Решение. 1) Найдем частные производные функции в точке :

, , .

Следовательно, , , .

2) Найдем направляющие косинусы вектора . В данном случае

,

откуда .

Следовательно, , , .

3) Найдем :

.

О т в е т:

 

Пример 2. Для функции найти производную в точке в направлении вектора

а) ; б) .

Решение. В данном случае речь идет о функции двух переменных, следовательно, в формуле (2) третье слагаемое будет отсутствовать. Во всем остальном решение примера не будет отличаться от решения примера 1.

1) Найдем частные производные функции в точке :

; .

2) Найдем направляющие косинусы векторов и .

В данном случае Следовательно, получаем:

для вектора ;

для вектора .

3) Найдем и :

, .

Ответ: а) ; б) .

П р и м е р 3. Найти производную функции в точке по направлению а) биссектрисы I координатного угла;

б) радиуса-вектора точки в) вектора где

Р е ш е н и е. Найдем частные производные функции

Вычислим их в точке

Тогда по формуле (2) находим:

где направляющие косинусы вектора

а) Для биссектрисы I координатного угла откуда Следовательно, получаем:

где

б) В данном случае Поэтому , откуда Следовательно, получаем:

где

в) Так как то и Следовательно, получаем:

О т в е т: а) б) 1, в) 0.

 

ГРАДИЕНТ И ЕГО СВОЙСТВА

 

Пусть функция определена в области , где , дифференцируема в точке

Определение 2. Градиентом функции в точке называется – мерный вектор, обозначаемый и вычисляемый по формуле:

. (3)

В частности, если и , то

; (4)

если и

. (5)

Замечание 3. Для вектора (5) его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

, , ,

где .

Тогда формула (2) примет вид:

Свойство 1. .

Свойство 2. , где .

Свойство 3. Производная функции в точке по направлению вектора равна скалярному произведению вектора на единичный вектор , сонаправленный с :

, где .

Свойство 4. Производная функции в точке по направлению вектора равна проекции вектора на вектор , то есть справедливо равенство: .

Свойство 5. Производная функции в точке по направлению градиента функции , вычисленного в точке , равна длине вектора , то есть справедливо равенство:

С в о й с т в о 6. Производная функции в точке по направлению вектора принимает наибольшее значение по сравнению с производной функции в точке по любому другому направлению .

Свойство 7. Вектор направлен по нормали к поверхности уровня , где число равно .

С в о й с т в о 8. Градиент не зависит от выбора системы координат.

Замечание 4. Градиент (если он не ) функции в каждой точке направлен в сторону наибольшего роста функции , причем скорость изменения функции в этом направлении равна длине вектора . Если , то .

З а м е ч а н и е 5. Из свойств 6, 7 устанавливается связь между вектором и числом :

· к поверхности , где , в точке строим вектор ;

· строим сферу, для которой | | является диаметром;

· из точки проводим вектор ;

· обозначим угол между векторами и ;

· обозначим точку пересечения вектора с поверхностью сферы через (рис.1).

Тогда .

Причем, изменив направление вектора на противоположное, производная изменит знак, но останется прежней по абсолютной величине.

 

u = c

 

M

Рис. 1

 

З а м е ч а н и е 6. Для функции трех переменных

· в ц и л и н д р и ч е с к о й системе координат:

,

 

· в с ф е р и ч е с к о й системе координат:

.

 

Для функции двух переменных в п о л я р н о й системе координат:

.

 

Пример 4. Найти градиент функции в точке .

Решение. В данном случае

; .

Следовательно, получаем:

.

Ответ: .

 

П р и м е р 5. Найти градиент функции в точке

Р е ш е н и е. Так как (см. пример 3), то по формуле (3) при находим:

О т в е т:

 

П р и м е р 6. Найти величину наибольшей скорости изменения функции в точке

Р е ш е н и е. Найдем частные производные функции

Вычислим их в точке

Поэтому и

Следовательно, воспользовавшись свойством 7, находим наибольшее значение скорости изменения функции в точке =

О т в е т:

 

Пример 7. Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Р е ш е н и е. 1) Найдем вектор :

, ,

откуда по формуле (5) получаем: .

2) Найдем: .

3) Найдем по формуле (6): .

Ответ: .

 

П р и м е р 8. Найти угол между градиентами функции в точках и

Р е ш е н и е. Найдем частные производные функции

Тогда

Следовательно

Далее воспользуемся формулой где . Вычисляем:

Таким образом, где

О т в е т:

 

Пример 9. Найти величину и направление наибольшего роста функции в точке .

Решение. Учитывая замечание 5, решение сводится к поиску и вычислению числа .

В данном случае ; ; .

Следовательно, , .

Ответ: величина наибольшего роста функции в точке равна ; направление наибольшего роста функции в точке задается вектором .

 

ПРИМЕРЫ

1. Найти производную функции по направлению вектора в точках и

2. Найти производную функции в точке по направлению вектора а) б) в) если и

3. Найти градиент функции в точке и определить в точке производную функции по направлению вектора

4. Для скалярного поля найти градиент в точке

5. Найти производнуюфункции в точке по направлению ее градиента в этой точке.

6. Найти и построить градиент функции в точках и если а) б)

7. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол

8. Проверить, что в точке производная функции в любом направлении равна нулю.

9. Найти косинус угла между градиентами функции в точках и

10. Определить, по какому направлению должна двигаться точка при переходе через точку чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью.

11. Найти производную функции в точке в направлении градиента к поверхности в точке

12. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осями координат равные острые углы.

13. Найти производную функции в точках и в направлении: а) б) в) отрицательной полуоси Оу.

14. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от к точке

15. Найти производную функции в направлении:

а) биссектрисы I координатного угла, б) отрицательной полуоси Ох.

16. Найти в и градиент функции: а) б)

17. Для функции найти точки, в которых ее производная по любому направлению равна нулю.

ОТВЕТЫ

 

1. 2. а) б) в) 3. 4. 5.

6. а) В точке линия уровня градиент см. на рис. 2.

у

1 B

 

О 1 2 3 х

-1 А

Рис. 2

 

В точке линия уровня градиент в точке см. на рис. 3.

у

-6 -2 О х

 

B -2

Рис. 3

б) В точке линия уровня градиент см. на рис. 4.

у

1

О 1 х

-1

А Рис. 4

В точке линия уровня градиент в точке см. на рис. 5.

 

у

-2 О х

 

B -2

-2,5 Рис. 5

7. 9. 10. 11. 5. 12.

13. а) б) в) 14. 15. а) б)

16. а) б) 17.

§ 7. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

 

ЭКСТРЕМУМ

 

Пусть дана функция где , определенная на некотором множестве

О п р е д е л е н и е 1. Точка называется точкой максимума (минимума) функции если в области D существует такая окрестность с центром в точке во всех