Гармонические колебания и их характеристики

Конспект лекций 5

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.

Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.

отсюда

В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:

х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];

А – амплитуда колебания (max смещения), [м];

ω₀ – круговая (циклическая) частота, [рад/с];

t – текущее время, [с];

φ₀ – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];

φ = фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].

 

Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.

 

t – время;

N – число полных колебаний;

ν – частота.

 

Скорость и ускорение при колебательном движении

Пусть

 

- скорость, [м/с];

 

 

или – ускорение, [м/с²].

Амплитуды колебаний скорости и ускорения соответственно равны Аw ₀ и Аw . Фаза колебаний скорости отличается от фазы колебаний величины отклонения на p/ 2, а фаза колебаний ускорения --на p. Следовательно, в моменты времени, когда х= 0, d х/ d t приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d² х/ d t ² приобретает наибольшее положительное значение:

 

 

 

 

 

 

Уравнение гармонического колебания в дифференциальной форме

-

Отсюда дифференциальное уравнение гармонического колебания:

 

или .

Уравнение является решением дифференциального уравнения.

Гармоническим колебанием называется колебание, у которого ускорение прямопропорционально смещению.

 

Динамика колебаний

1. Сила, действующая на колеблющуюся точку

, тогда

или

- II закон Ньютона

 

(при )

(при )

 

2. Кинетическая энергия

3. Полная или суммарная энергия

4. Потенциальная энергия

;

 

Сложение колебаний

1. Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой методом векторных диаграмм.

 

-начальная фаза первого колебания.

-начальная фаза второго колебания.

Амплитуда результирующего колебания:

 

Начальную фазу результирующего колебания найдем из соотношения:

Откуда

 

Биения.

Биения возникают при складывании гармонических колебаний одинакового направления с мало отличающимися частотами. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

 

 

- период колебаний;

- период биений.

Δω<<ω₀

;

;

(Δω<<ω₀ → пренебрегаем)

- амплитуда результирующего колебания.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Фигура Лиссажу – это замкнутая траектория точки, которая совершает одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Затухающие колебания

Это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается

Дифференциальное уравнение затухающего колебания

.

 

Решением дифференциального уравнения является уравнение вида:

В общем случае уравнение затухающих колебанийможно записать в виде:

=

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем по экспоненциальной зависимости:

где A₀ - начальная амплитуда (характеризует максимальное отклонение параметра х в момент времени t=0 )

– коэффициент затухания (характеризует скорость затухания

колебаний).

где r - коэффициент сопротивления; m - масса

T

хo

t

хo

t

х

Пунктирная линия на графике затухающих колебаний – это зависимость амплитуды от времени. Чем больше коэффициент затухания β (нижний рис ), тем больше скорость затухания колебаний

.

Логарифмический декремент затухания λ, который определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний A(t) в момент времени t к амплитуде A(t+T) в момент времени (t+T), то есть через время, равное периоду колебаний.

Логарифмический декремент затухания λ связан с коэффициентом затухания β и характеризует скорость затухания амплитуды колебаний

Вообще основными характеристиками затухающих колебаний являются:

- амплитуда колебаний(в момент времени t=0 она имеет максимальное значение А₀).

- коэффициент затухания

(r - коэффициент сопротивления; m - масса)

- циклическая частота затухающих колебаний.

- период колебаний.

- логарифмический декремент затухания.

- время релаксации (характеризует время, за которое амплитуда уменьшается в е раз).

Ν_е - число полных колебаний за время релаксации.

- добротность контура (характеризует число колебаний за время релаксации).

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под воздействием внешней периодически меняющейся силы.

 

F = F₀ · cos ωt

 

-дифференциальное уравнение вынужденных

колебаний

 

Решением дифференциального уравнения является уравнение:

 

- амплитуда вынужденных колебаний

 

 

- начальная фаза

 

установление колебаний с частотой

 

При приближении частоты вынуждающей силы () к собственной частоте колебательной системы (), наступает резкое увеличение амплитуды t - явление РЕЗОНАНСА.

 

 

 

(на рис. коэффициент затухания β обозначен как δ)

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

 

Волна – это процесс распространения колебаний в сплошной среде.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и его энергия.

Основное свойство волн – перенос энергии без переноса вещества.

ВОЛНЫ

Упругие (механические)

Электромагнитные

Продольные

Поперечные

Продольные волны – частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах.

 

Поперечные волны – частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Распространяются в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т. е. только в твердых телах.

 

Гармоническая упругая волна – если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

 

Закон колебаний точки S.

 

 

Длина волны - расстояние, на которое распространяется фаза колебаний за время равное периоду:

; ;

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t.

Волновой фронт также является волновой поверхностью.

У плоской волны волновая поверхность – это совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

У сферической волны – волновая поверхность - это совокупность сфер.

 

Волновое уравнение

1. Бегущая волна – это волна, которая переносит в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором Умова (вектор плотности потока энергии). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Уравнение бегущей волны, которая распространяется в прямом направлении:

Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае:

Где А – амплитуда волны;

- циклическая частота волны;

- фаза волны

 

 

Для волн в качестве основной характеристики используется волновое число:

Тогда уравнение бегущей волны.

 

Фазовая скорость.

Пусть , тогда

 

- фазовая скорость.

 

– волновое число

 

3. Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение волны:

 

V – фазовая скорость.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси Х:

 

Стоячие волны

Стоячая волна является особым случаем интерференции двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющимися навстречу друг другу.

На рис. показан график стоячей волны, которая является результатом сложения бегущей (сплошная линия) и отраженной (пунктирная линия) волн. Уравнения этих волн:

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны:

Амплитуда стоячей волны зависит от положения точки среды относительно источника колебаний, т.е. от координаты х.

Пучность – это точка, в которой амплитуда стоячей волны максимальна: А_ст = 2А.

Узел – это точка, в которой амплитуда стоячей волны равна нулю: А_ст = 0 (рис.)

Падающая волна

Пучность

Отраженная волна

λ

у

х

λст

Узел

Более плотная среда

Координаты узлов и пучностей стоячей волны:

где λ_ст – длина стоячей волны (расстояние между соседними пучностями или узлами).

Длина бегущей и стоячей волн связаны соотношением:

λ = 2 λ_ст

Основные свойства стоячих волн:

1. В отличие от бегущей стоячая волна не переносит энергию, т.к. падающая и отраженная волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Полная энергия стоячей волны между узлами остается величиной постоянной.

2. Точки стоячей волны, лежащие между соседними узлами, совершают колебания с различными амплитудами, но в одинаковой фазе. При переходе через узел фаза колебаний меняется на π, т.е. точки по разные стороны узла колеблются в противофазах.

3. Если среда, от которой происходит отражение, более плотная, то в месте отражения получается узел. Образование узла связано с тем, что при отражении от более плотной среды волна меняет фазу на противоположную, и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений.

Если отражение волны происходит от менее плотной среды, то образуется пучность ( изменение фазы не происходит, и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами).

Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны - это распространение в пространстве индуктивно связанных между собой переменных электрического и магнитного полей.

Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа

 

(1)

 

 

Фазовая скорость: (2)

в вакууме ε=1 μ=1

 

Т. к. <1, то в любой среде V < C.

Основные свойства электромагнитных волн:

1. Электромагнитные волны поперечны (V E; V H).

2. и колеблются всегда в одинаковых фазах.

3. Мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением:

(3)

т. е. Е и Н одновременно достигают max и одновременно обращаются в нуль.

 

Волновым уравнениям (1) соответствуют уравнения плоской монохроматической волны:

 

где - волновое число.

Конспект лекций 5

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармонические колебания и их характеристики

Гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону cos или sin.

Графически гармонические колебания изображаются методом векторных диаграмм.

отсюда

В общем виде уравнение гармонического колебания записывают в виде:

х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, [м];

А – амплитуда колебания (max смещения), [м];

ω₀ – круговая (циклическая) частота, [рад/с];

t – текущее время, [с];

φ₀ – начальная фаза колебания (она определяет смещение, скорость и ускорения точки в момент времени t = 0), [рад];

φ = фаза колебания (определяет смещение, скорость и ускорение точки в момент времени t), [рад].

 

Положение колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т (период колебаний). При этом фаза получает приращение 2π.

 

t – время;

N – число полных колебаний;

ν – частота.