Скорость и ускорение при колебательном движении

Пусть

 

- скорость, [м/с];

 

 

или – ускорение, [м/с²].

Амплитуды колебаний скорости и ускорения соответственно равны Аw ₀ и Аw . Фаза колебаний скорости отличается от фазы колебаний величины отклонения на p/ 2, а фаза колебаний ускорения --на p. Следовательно, в моменты времени, когда х= 0, d х/ d t приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d² х/ d t ² приобретает наибольшее положительное значение:

 

 

 

 

 

 

Уравнение гармонического колебания в дифференциальной форме

-

Отсюда дифференциальное уравнение гармонического колебания:

 

или .

Уравнение является решением дифференциального уравнения.

Гармоническим колебанием называется колебание, у которого ускорение прямопропорционально смещению.

 

Динамика колебаний

1. Сила, действующая на колеблющуюся точку

, тогда

или

- II закон Ньютона

 

(при )

(при )

 

2. Кинетическая энергия

3. Полная или суммарная энергия

4. Потенциальная энергия

;

 

Гармонический осцилятор. Маятники

Гармонический осцилятор – это система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида

Это математическая модель периодического движения во многих задачах классической и квантовой физики.

Примером гармонического осцелятора являются пружинный, математический и физический маятники.

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины.

Уравнение движения маятника

где циклическая частота колебаний;

Так как , то - период пружинного маятника

- потенциальная энергия пружинного маятника

2. Математический маятник

период математического маятника

 

l – длина нити маятника

 

 

3. Физический маятник – это тело, совершающее колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С.

 

d – расстояние от оси вращения до центра масс

I – момент инерции тела

- приведенная длина физического маятника

Сложение колебаний

1. Сложение одинаково направленных колебаний с одинаковой частотой методом векторных диаграмм.

 

-начальная фаза первого колебания.

-начальная фаза второго колебания.

Амплитуда результирующего колебания:

 

Начальную фазу результирующего колебания найдем из соотношения:

Откуда

 

Биения.

Биения возникают при складывании гармонических колебаний одинакового направления с мало отличающимися частотами. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

 

 

- период колебаний;

- период биений.

Δω<<ω₀

;

;

(Δω<<ω₀ → пренебрегаем)

- амплитуда результирующего колебания.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Фигура Лиссажу – это замкнутая траектория точки, которая совершает одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях.