Измерение объемов тел правильной

Измерение объемов тел правильной

Геометрической формы

 

Методические указания к лабораторной работе

 

Красноярск 2016

Лабораторная работа

Измерение объемов тел

Правильной геометрической формы

Цель работы:

– вычислить объем твердого тела правильной геометрической формы;

– научиться обрабатывать результаты измерений и оценивать точность измеряемой величины посредством погрешностей.

Приборы и принадлежности: тело цилиндрической формы, штангенциркуль.

Основные положения теории погрешностей

Курс физики составляет основу базовой подготовки инженера любой специальности. Поскольку физика – наука экспериментальная, то выполнение лабораторных работ в учебных лабораториях является неотъемлемой частью физического образования студента. Получая опытные данные, в процессе проведения физического эксперимента, обучающийся должен уметь обрабатывать его результаты. Поэтому, прежде всего, необходимо освоить приемы и методы расчета погрешностей измеряемых величин, поскольку любая физическая величина, в результате влияния многих объективных и субъективных причин, может быть измерена лишь приближенно, с некоторой точностью.

В данном разделе описана методика обработки результатов измерений, в основе которой лежит наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности – метроло́гия. Метрология, опираясь на результаты математической статистики, предоставляет сведения относительно того, как следует обрабатывать результаты измерений количественной информации о свойствах объектов окружающего нас мира с заданной точностью и достоверностью.

 

Прямые и косвенные измерения. Виды погрешностей

 

Целью любого физического эксперимента является измерение физических величин, которые характеризуют изучаемое явление. Результатом отдельного измерения, часто называемого наблюдением, служит численное значение измеряемой величины.

Измерение величины: процесс экспериментального получения одного или более значений величины, которые могут быть обоснованно приписаны величине. Измерение подразумевает сравнение величин или включает счет объектов. Измеряемая величина может быть соотнесена с другой эталонной величиной, принятой за единицу измерения.

Пример – Измерения меры длины, выполненные путем сравнения с эталонной мерой на штангенциркуле.

Результат измерения физической величины; результат измерения; результат: значение величины, полученное путем её измерения.

По способу получения результата измерения физической величины, выделяют прямые, косвенные и совместные измерения.

Прямое измерение: измерение, при котором искомое значение величины получают непосредственно от средства измерений.

Примеры

Измерение длины детали микрометром.

Измерение силы тока амперметром.

Доверительные границы погрешности измерения

И доверительная вероятность

 

Предположим, что при многократном измерении физической величины в эксперименте получено её значений Будем считать, что все измерения выполнены с одинаковой тщательностью и по одной и той же методике. Нашей задачей является нахождение: среднего арифметического значения измеряемой величины; доверительных границ погрешности результата измерений при заданном значении доверительной вероятности.

Как указывалось выше, в качестве истинного значения измеряемой величины следует принять её среднее арифметическое значение . В этом случае значение лежит в некоторых пределах вблизи . Нужно найти этот интервал, в пределах которого с заданной вероятностью можно обнаружить значение определяемой величины . Для этого задают некоторую вероятность , близкую к 1. После чего определяют для нее нижнюю границу интервала и верхнюю границу интервала , внутри которого должно находиться значение определяемой величины, (см. рис. 1).

Интервал здесь и дает доверительные границы погрешности, определяя верхнюю и нижнюю границу интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится значение измеряемой величины .

Вероятность называют доверительной вероятностью.

Рис. 1 Пояснения к терминам

 

Окончательный результат измерений записывается в виде

 

 

Приведенную запись следует понимать так: существует определенная степень уверенности в том, что значение измеряемой величины находится в пределах рассчитанного интервала от до . Равенство доверительной вероятности значению означает, что при проведении большого количества измерений, в 95 % случаев ( результаты измерений физической величины, выполненные с одинаковой тщательностью и на одном и том же оборудовании, попадут внутрь доверительного интервала.

Обратите внимание на то, что для расчета доверительных границ погрешности (без учета знака) доверительную вероятность принимают равной 0,95. Однако в особых случаях, если не удается повторить измерения при неизменных условиях опыта, или если результаты опыта имеют отношение к здоровью людей, допускается применять доверительную вероятность равную 0,99.

Пример – Результат измерения штангенциркулем диаметра цилиндра представлен в виде

.

Эта запись подразумевает, что в результате проведения некоторого числа замеров диаметра цилиндра, среднее арифметическое значение величины равно мм. Доверительные границы погрешности мм, а измеренное значение диаметра лежит в диапазоне от до мм. Такой результат отвечает доверительной вероятности . Последний факт означает, что в 95% случаев результаты измерений диаметра при любом количестве последующих его замеров тем же инструментом, будут находиться внутри интервала от до мм.

В предыдущем примере погрешность измерения выражалась в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. Такая запись выражает результат в абсолютной форме.

Абсолютная погрешность: погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Однако погрешность может быть выражена и в относительной форме.

Относительная погрешность: погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности к истинному значению, в качестве которого принимают среднее арифметическое значение . Границы относительной погрешности в долях или процентах находят из соотношений

 

или .

Пример – Используем предыдущий пример, результаты которого были представлены в виде: .

Здесь доверительные границы абсолютной погрешности мм, а относительная погрешность , или 0,26%.

 

И результата измерений

 

Вопрос о точности вычисления очень важен, так как позволяет избежать большого объема лишней работы. Следует понимать, что не нужно проводить вычисления с точностью превосходящей тот предел, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся в опыте величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

– если нуль находится между значащими цифрами.

Пример – В числе 2053 – четыре значащих цифры;

– когда нуль стоит в конце числа и известно, что единицы соответствующего разряда в данном числе нет.

Пример – В числе 5,20 три значащих цифры. Из этого следует, что при измерении учитывались не только единицы, но и десятые, и сотые. В числе 5,2 – только две значащих цифры, поэтому, учитывались только целые и десятые.

Приближенные вычисления производятся при соблюдении следующих правил:

– при сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков.

Пример – 0,8934+3,24+1,188=5,3214 5,32.

– при умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример – 8,632 2,8 3,53 = 85,318688 85,3.

Если же один из сомножителей начинается с единицы, а сомножитель, имеющий наименьшее количество цифр, – с любой другой цифры, то в результате сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример – 30,9 1,8364=56,74476 ≈ 56,74.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем прописывают приведенные выше правила (одна цифра оставляется для «запаса»). В окончательном результате цифра, оставляемая для «запаса» отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата, цифру, следующую за ней, следует вычислить. Если она , её следует просто отбросить, а если окажется , то, при её отбрасывании, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу. Обычно в абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной погрешности;

– при расчете значений функций , , некоторого приближенного числа результат должен содержать такое количество значащих цифр, сколько их имеется в числе .

Пример – .

Следует отметить, что абсолютную погрешность предварительно вычисляют не более, чем с двумя значащими цифрами, а в окончательном результате еще раз округляют до одной значащей цифры. Для относительной погрешности оставляют две значащие цифры.

Основное правило представления результатов состоит в том, что значение любого результата должно оканчиваться цифрой в таком десятичном разряде, что и последняя значащая цифра погрешности.

Пример – Результат с погрешностью 0,5 нужно округлить до . Если этот же результат получен при погрешности 5, то его правильно представить в виде: . А если погрешность равна 50, то записываем результат, как .

Порядок выполнения работы

1. Научиться пользоваться измерительным прибором – штангенциркулем (приложение А).

2. Измерить на обоих концах цилиндра его диаметр с помощью штангенциркуля. Провести 5 измерений, поворачивая цилиндр вокруг его оси. Результаты записать в таблицу 2.

3. Измерить высоту цилиндра с помощью штангенциркуля 5 раз, повернув перед каждым измерением цилиндр вокруг его оси на некоторый угол (около 45°). Результаты записать в таблицу 2.

4. Вычислить средние арифметические значения высоты и диаметра цилиндра по формулам

 

,

.

Таблица 2

Результаты измерений и вычислений

Номер измерения	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм
…
n

 

5. Рассчитать средние квадратические отклонения средних арифметических высоты и диаметра по формулам

,

 

.

 

6. Для выполненного количества измерений , при доверительной вероятности рассчитать случайные погрешности измерения высоты и диаметра по формулам

 

7. Определить значение систематической погрешности штангенциркуля (в нашем случае эта допускаемая погрешность средства измерения) в виде . Если и отличаются от погрешности средства измерения более чем в три раза, то за величину погрешности измерений и принимаем наибольшую из величин и или . Иначе, погрешности измерений определяются по формулам:

 

 

в которых значение определяется из соотношения (8), а для высоты и для диаметра рассчитываются по формуле (7)

 

,

.

 

Величина находится согласно выражению , где вместо систематической погрешности была подставлена погрешность средства измерения .

8. Вычислить относительные погрешности, выраженные в процентах, измерения высоты и диаметра цилиндра по формулам

 

,

%.

 

9. Рассчитать средний объем цилиндра по формуле (17)

 

 

в которой и средние арифметические значения для диаметра и высоты цилиндра.

10. Вычислить относительную погрешность косвенного измерения объема по формуле

 

.

(18)

 

Если константу округлить до значения 3,14, то – погрешность такого округления. Формула (18) получается, если прологарифмировать выражение (17), а затем его продифференцировать согласно методике пункта 1.5 по всем переменным, в том числе и по константе .

11. Рассчитать значение погрешности измерения объема по формуле (15)

 

 

12. Записать окончательный результат в виде:

 

, мм, P=0,95, =…% , мм, P=0,95, =…% , мм3, P=0,95, =…%

4 Контрольные вопросы и задания

1. Дать определения и привести примеры: измерения величины; результата измерения; погрешности результата измерения; среднего арифметического значения измеряемой величины; прямого измерения; косвенного измерения; совместного измерения; многократного измерения.

2. Перечислить и описать виды погрешностей и способы получения результата.

3. Как определить границы систематической погрешности при наличии менее трех её составляющих?

4. Назвать отличие относительной погрешности от абсолютной погрешности измерения.

5. Сделать выводы формул (9), (10) и (18).

6. От каких параметров зависит значение коэффициента Стьюдента?

7. Как рассчитать случайную, систематическую погрешности и погрешность измерений?

8. При каких условиях можно пренебречь случайной или систематической погрешностями?

9. Как рассчитать погрешность косвенных измерений?

10. Объяснить смысл доверительных границ абсолютной погрешности, относительной погрешности и доверительной вероятности.

11. В каком виде записывается окончательный результат проведенных измерений?

 

Библиографический список

1. ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения. – Введ. 01.01.2013. – Москва: Стандартинформ, 2013. – 20 с.

2. Грановский, В. А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях [Текст] / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 288с.

3. Зайдель, А. Н. Погрешности измерений физических величин [Текст] / А. Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1985. – 112с.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Примеры

1 На рис 3 а показания штангенциркуля составляют: . На рис 3 б показания штангенциркуля составляют: .

2 На рис 4 а показания штангенциркуля составляют: . На рис 4 б показания штангенциркуля составляют: .

Перед эксплуатацией штангенциркуля нужно проверить его техническое состояние методом визуального осмотра. Штангенциркуль не должен иметь перекошенные губки, коррозию и царапины на рабочих поверхностях. При совмещенных губках нулевой штрих нониуса должен совпадать с нулевым штрихом штанги. Если в штангенциркуле обнаружены описанные выше технические неисправности или несовпадение губок нулевого штриха нониуса с нулевым штрихом штанги, то пользоваться им не разрешается. Неисправный штангенциркуль необходимо поменять на другой.

При проведении измерений штангенциркулем нужно соблюдать следующие правила:

– губки 3 штангенциркуля (рис. 2) прижимать к детали плотно, но без особых усилий, без зазоров и перекосов;

– при измерении наружного диаметра цилиндра, следить за тем, чтобы плоскость рамки 2 была перпендикулярна оси цилиндра;

– при измерении цилиндрических отверстий, губки 4, располагать в диаметрально противоположных точках отверстия. Их можно найти по максимальным показаниям шкалы штангенциркуля. При этом плоскость рамки 2 должна проходить через ось отверстия, чтобы не допустить ошибок при измерении цилиндрического отверстия;

– при измерении глубины отверстия, штангу 1 устанавливать у его края перпендикулярно поверхности изделия. Линейку глубиномера выдвигать до упора в дно при помощи рамки 2;

– полученный размер фиксировать стопорным винтом и определять показания, так как описано выше.

 

Измерение объемов тел правильной

Геометрической формы