Лекция 1. Теория погрешности

Лекция 1. Теория погрешности

 

 

Виды погрешностей вычислительного эксперимента:

 

1. Погрешность математической модели.

2. Погрешность исходных данных.

3. Погрешность численного метода (дискретизации).

4. Погрешность вычислений.

Три простых примера

Пример 1.

 

,

 

,

 

(1)

 

(2)

 

(3)

 

№ строки		Формула 1	Формула 2	Формула 3
	1,4			0,005076142
	1,41	0,003558719	0,3	0,005058169
	1,414	0,004975124	0,02	0,005051015
	1,4142	0,005045839	0,006	0,005050658
	1,41421	0,005049374	0,0053	0,005050640
	1,414214	0,005050789	0,00502	0,005050633
	1,4142136	0,005050647	0,005048	0,005050634
	1,41421356	0,005050633	0,0050508	0,005050634
	1,414213562	0,005050634	0,00505066	0,005050634
	1,4142135624	0,005050634	0,005050632	0,005050634
	1,41421356237	0,005050634	0,005050634	0,005050634

 

Пример 2.

вариант 1.

 

Свойство:

 

 

N=20, вариант 2

N=200, вариант2'.

 

 

N	En –вариант 1	En –вариант 2	En –вариант 2'
	0,632120559	0,632120559	0,632120559
	0,367879441	0,367879441	0,367879441
	0,264241118	0,264241118	0,264241118
	0,207276647	0,207276647	0,207276647
	0,170893412	0,170893412	0,170893412
	0,145532941	0,145532941	0,145532941
	0,126802357	0,126802357	0,126802357
	0,112383504	0,112383504	0,112383504
	0,100931967	0,100931967	0,100931967
	0,091612293	0,091612293	0,091612293
	0,083877070	0,083877070	0,083877070
	0,077352229	0,077352229	0,077352229
	0,071773248	0,071773254	0,071773254
	0,066947780	0,066947703	0,066947703
	0,062731080	0,062732162	0,062732164
	0,059033794	0,059017565	0,059017541
	0,055459302	0,055718954	0,055719346
	0,057191871	0,052777778	0,052771119
	-0,029453671	0,05	0,050119855
	1,559619744	0,05	0,047722756
	-30,19239489		0,045544884

Пример 3. Численное дифференцирование

 

 

,

 

Основные понятия теории погрешности

Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.

Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется

 

Опр. 3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆_a, обладающую свойством

 

Очевидно

 

Краткая запись: A=a ± ∆_a

 

Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆_a=0,01.

Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆_a=0,002.

Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина

 

Опр.6 Предельная относительная погрешность δ_a удовлетворяет соотношению

Δ ≤ δ_a·| A |

 

Тогда

Очевидно

 

Пример 5. Пусть x=100 км, ∆_x=10 м;

y=10 см, ∆_y=1мм; z=500 г, ∆_z=5 г.

 

 

Пусть

 

тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа называются значащими цифрами приближенного числа a.

 

Пример 6. a=3·10^-2+0·10^-3+5·10^-4+2·10^-5+0·10^-6,

a= 0, 0 30520

 

Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

 

Экспоненциальная форму представления числа:

 

a=3.0520·10^-2.

 

Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.

 

Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда

и a=40,0 или a=4,00·10¹

Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда

То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a₁=23.6 и Δ_окр=0.042. Тогда

Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a₂=24 и Δ_окр=0.358. Тогда

и значит верными являются цифры 2 и 4.

Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10^-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то

 

∆_a≤(0,5·10^-3)·10^-4=0,5·10^-7.

 

 

Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.

Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда

То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a₁=23.6 и Δ_окр=0.042. Тогда

и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.

Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10^-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то

 

∆_a≤(10^-3)·10^-4=10^-7.

 

 

Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Издание 7-ое. М., Лань, 2009 – с.17-52.

2. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007 – с.74-88.

Лекция 1. Теория погрешности

 

 

Виды погрешностей вычислительного эксперимента:

 

1. Погрешность математической модели.

2. Погрешность исходных данных.

3. Погрешность численного метода (дискретизации).

4. Погрешность вычислений.

Три простых примера

Пример 1.

 

,

 

,

 

(1)

 

(2)

 

(3)

 

№ строки		Формула 1	Формула 2	Формула 3
	1,4			0,005076142
	1,41	0,003558719	0,3	0,005058169
	1,414	0,004975124	0,02	0,005051015
	1,4142	0,005045839	0,006	0,005050658
	1,41421	0,005049374	0,0053	0,005050640
	1,414214	0,005050789	0,00502	0,005050633
	1,4142136	0,005050647	0,005048	0,005050634
	1,41421356	0,005050633	0,0050508	0,005050634
	1,414213562	0,005050634	0,00505066	0,005050634
	1,4142135624	0,005050634	0,005050632	0,005050634
	1,41421356237	0,005050634	0,005050634	0,005050634

 

Пример 2.

вариант 1.

 

Свойство:

 

 

N=20, вариант 2

N=200, вариант2'.

 

 

N	En –вариант 1	En –вариант 2	En –вариант 2'
	0,632120559	0,632120559	0,632120559
	0,367879441	0,367879441	0,367879441
	0,264241118	0,264241118	0,264241118
	0,207276647	0,207276647	0,207276647
	0,170893412	0,170893412	0,170893412
	0,145532941	0,145532941	0,145532941
	0,126802357	0,126802357	0,126802357
	0,112383504	0,112383504	0,112383504
	0,100931967	0,100931967	0,100931967
	0,091612293	0,091612293	0,091612293
	0,083877070	0,083877070	0,083877070
	0,077352229	0,077352229	0,077352229
	0,071773248	0,071773254	0,071773254
	0,066947780	0,066947703	0,066947703
	0,062731080	0,062732162	0,062732164
	0,059033794	0,059017565	0,059017541
	0,055459302	0,055718954	0,055719346
	0,057191871	0,052777778	0,052771119
	-0,029453671	0,05	0,050119855
	1,559619744	0,05	0,047722756
	-30,19239489		0,045544884

Пример 3. Численное дифференцирование

 

 

,

 

Основные понятия теории погрешности

Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.

Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется

 

Опр. 3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆_a, обладающую свойством

 

Очевидно

 

Краткая запись: A=a ± ∆_a

 

Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆_a=0,01.

Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆_a=0,002.

Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина

 

Опр.6 Предельная относительная погрешность δ_a удовлетворяет соотношению

Δ ≤ δ_a·| A |

 

Тогда

Очевидно

 

Пример 5. Пусть x=100 км, ∆_x=10 м;

y=10 см, ∆_y=1мм; z=500 г, ∆_z=5 г.

 

 

Пусть

 

тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа называются значащими цифрами приближенного числа a.

 

Пример 6. a=3·10^-2+0·10^-3+5·10^-4+2·10^-5+0·10^-6,

a= 0, 0 30520

 

Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

 

Экспоненциальная форму представления числа:

 

a=3.0520·10^-2.

 

Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.

 

Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда

и a=40,0 или a=4,00·10¹

Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда

То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a₁=23.6 и Δ_окр=0.042. Тогда

Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a₂=24 и Δ_окр=0.358. Тогда

и значит верными являются цифры 2 и 4.

Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10^-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то

 

∆_a≤(0,5·10^-3)·10^-4=0,5·10^-7.

 

 

Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.

Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда

То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a₁=23.6 и Δ_окр=0.042. Тогда

и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.

Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10^-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то

 

∆_a≤(10^-3)·10^-4=10^-7.