Погрешность выполнения арифметических операций (линейная теория).

Общий случай определения предельной абсолютной погрешности для

 

Определение погрешностей арифметических операций.

Сложение

 

 

Вычитание

 

Таким образом

.

 

 

 

Таким образом

.

 

Аналогично

 

Но , тогда

 

Таким образом

Пример 1. Обозначим .

 

 

 

a	δa	C1	C1·δa	C2	C2·δa	C3	C3·δa
1,4	1,0E-02	∞	∞	9,8E+01	9,9E-01	0,497	5,1E-03
1,41	3,0E-03	1,4E+02	4,2E-01	3,3E+02	9,8E-01	0,499	1,5E-03
1,414	1,5E-04	1,0E+02	1,5E-02	4,9E+03	7,5E-01	0,500	7,6E-05
1,4142	9,6E-06	1,0E+02	9,6E-04	1,6E+04	1,6E-01	0,500	4,8E-06
1,41421	2,5E-06	1,0E+02	2,5E-04	1,9E+04	4,7E-02	0,500	1,3E-06
1,414214	3,1E-07	1,0E+02	3,1E-05	2,0E+04	6,1E-03	0,500	1,5E-07
1,4142136	2,7E-08	1,0E+02	2,7E-06	2,0E+04	5,2E-04	0,500	1,3E-08
1,41421356	1,7E-09	1,0E+02	1,7E-07	2,0E+04	3,3E-05	0,500	8,4E-10
1,414213562	2,6E-10	1,0E+02	2,6E-08	2,0E+04	5,2E-06	0,500	1,3E-10
1,4142135624	1,9E-11	1,0E+02	1,9E-09	2,0E+04	3,7E-07	0,500	9,5E-12
1,41421356237	2,2E-12	1,0E+02	2,2E-10	2,0E+04	4,3E-08	0,500	1,1E-12

 

Пример 2.

 

Вариант 1.

 

 

Но, E_n<E_n-1 отсюда

 

Вариант 2.

 

 

Откуда

n	δ(En)(1)	δ(En)(2)
	2,0E-17	3,0E-20
	3,4E-17	5,1E-20
	9,6E-17	1,4E-19
	3,7E-16	5,4E-19
	1,8E-15	2,6E-18
	1,0E-14	1,5E-17
	7,2E-14	1,1E-16
	5,7E-13	8,4E-16
	5,1E-12	7,5E-15
	5,0E-11	7,4E-14
	5,5E-10	8,1E-13
	6,5E-09	9,7E-12
	8,4E-08	1,2E-10
	1,2E-06	1,7E-09
	1,8E-05	2,6E-08
	2,8E-04	4,1E-07
	4,7E-03	7,0E-06
	8,5E-02	1,3E-04
	1,6E+00	2,4E-03
	3,2E+01	4,8E-02
	6,8E+02	1,0E+00

Пример 3.

 

Но

,

 

где - машинная точность компьютера.

 

Важнейшее свойство вычислительных алгоритмов – устойчивость к накоплению погрешности вычислений (вычислительная устойчивость)!

Понятие о вероятностной оценке погрешности

Пусть необходимо вычислить сумму:

 

 

в которой все слагаемые заданы с погрешностями ∆x_i соответственно. Тогда

 

 

и если

 

то

На практике, фактические ошибки отдельных слагаемых, как правило имеет различные знаки и, следовательно, частично компенсируют друг друга. Поэтому наряду с теоретической предельной погрешностью суммы ∆_u используют практическую предельную погрешность - реализуемой с некоторой мерой достоверности.

В простейшем случае можно предположить, что абсолютные погрешности слагаемых независимы и подчиняются нормальному закону (с нулевым математическим ожиданием) с одной и той же мерой точности.

 

 

Пусть

тогда можно доказать, что с той же мерой достоверности

 

 

Таким образом, за практическую предельную абсолютную погрешность суммы можно принять

 

 

В частности для

 

и

.

 

Аналогично, для случая умножения n сомножителей с одинаковой относительной предельной погрешностью δ можно доказать, что

 

 

Обратная задача теории погрешности

Задача. Какова должна быть абсолютная (относительная) погрешность аргументов функции, чтобы ее абсолютная (относительная) погрешность не превышала заданной величины.

 

Пусть

Принцип равного влияния:

Тогда

Пример 9.

 

 

 

 

 

Особенности машинной real арифметики

±

мантисса

порядок

 

Внутренне представление – пара целых чисел.

 

Нарушение законов арифметики.

 

1. Ассоциативный: (a+b)+c=a+(b+c)

 

Для мантиссы, содержащей два десятичных разряда.

a=1, b=0.04, c=0.04, a+b+c=1.08

a=0.10·10¹, b=0.40·10^-1, c=0.40·10^-1

a+b=0.10·10¹+0.40·10^-1=0.10·10¹+0.0040·10¹=

=0. 10 4·10¹≈0.10·10¹

(a+b)+c≈0.10·10¹, D=0.08

b+c=0.40·10^-1+0.40·10^-1=0.80·10^-1

a+(b+c)= 0.10·10¹+0.80·10^-1=0.10·10¹+0.008·10¹=

=0. 10 8·10¹≈0.11·10¹, D=0.02

 

Таким образом

(a+b)+c ≠ a+(b+c)

2. Дистрибутивный

(a+b)·c ≠ a·c+b·c

 

Если порядок [9,-9], тогда ε_M=0.10·10^-9.

 

Пусть

M_R – множество чисел типа real,

R – множество рациональных чисел,

D – множество действительных чисел.

Тогда

M_R – конечное.

Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Издание 7-ое. М., Лань, 2009 – с.17-52.

2. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007 – с.74-88.