Основные величины, характеризующие синусоидальные ток, напряжение и ЭДС

Этими основными величинами являются:

- мгновенное значение;

- амплитудное значение;

- начальная фаза;

- действующее значение;

- среднее значение;

- комплекс действующего или амплитудного значения и др.

3.1.1 Мгновенное значение. Мгновенное значение величины а показывает закон ее изменения и записывается в виде:

(3.1)

где – амплитуда (максимальное значение) величины;

– угловая частота, рад/с;

t – текущее значение времени, с;

– начальная фаза.

Мгновенные значения тока i, напряжения и или ЭДС е записываются в виде:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Аргумент синуса называется фазой. Угол равен фазе в начальный момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой.

Угловая частота связана с периодом T и частотой f = 1/Tформулами:

или (3.5)

Частота f равная числу колебаний в 1с, измеряется в герцах (Гц). При f =50 Гц имеем = 314 рад/с.

С учетом (3.5) формула (3.1) может иметь вид:

(3.6)

На рисунке 3.1 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

По оси абсцисс отложено время t и величина , пропорциональная времени и измеряемая в радианах.

Рисунок 3.1. – График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами

 

Начальный фазный угол отсчитывается от начала синусоиды, т.е. от момента перехода синусоиды от отрицательных к положительным значе­ниям до момента времени t = 0 (начало координат). При начало синусоиды сдвинуто влево, а при – вправо от начала координат.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе.

Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рисунке 3.1 , т.е. ток i ₁ опережает по фазе ток i ₂ на угол , или, что тоже самое, ток i ₂ отстает по фазе от тока i ₁ на угол .

Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе; если разность их фаз равна, то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе). И, если разность их фаз равна то говорят, что они находятся в квадратуре.

Наибольшее распространение в электротехнике получил синусоидальный ток частотой 50 Гц, которая принята за стандартную. В США стандартной является частота f = 60 Гц.

Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений, очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до десятков тысяч мегагерц (МГц) в радиолокации.

Синусоидальные токи и напряжения низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов, в которых используется принцип получения синусоидального напряжения путем вращения витка с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле. Этот принцип основан на явлении электромагнитной индукции, открытом в 1831 году М.Фарадеем. Синусоидальные токи и напряжения высоких частот (ВЧ) получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов.

Источники синусоидальной ЭДС (источники синусоидального напряжения) обозначают на схемах с помощью условных обозначений (рис.3.2, а, б) или только показывают напряжение между зажимами источника (рис.3.2,в), т.к. в большинстве случаев принимают источники идеальными и ввиду равенства нулю их внутреннего сопротивления имеем e=u, Ė=Ů и т.д.

Рисунок 3.2. – Условные обозначения идеальных источников ЭДС

3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений. Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I ₀ в течение промежутка времени t равна:

(3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

(3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

(3.9)

Пусть , тогда:

.

Введем величину , называемую действующим значением синусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

(3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Действующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:

и (3.11)

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

(3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

(3.13)

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет от амплитудного значения. Аналогично,

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами. Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом:

(3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t = 0:

(3.15)

Величину называют комплексной амплитудой тока или комплексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на :

(3.16)

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выражения

Рисунок 3.3. - Изображение синусоидального тока

на комплексной плоскости вектором

 

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен вектор . При этом угол отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки, если . Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока (так же, как комплекс напряжения и ЭДС) можно представить

а) вектором ;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

(3.17)

Пример 3.1 Ток . Записать выражение для комплексной амплитуды этого тока.

Решение. В данном случае Следовательно,

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока . Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить на и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения:

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение.