Решение прикладных задач на основе физического и геометрического смыслов производной

Геометрический смысл производной. Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке , равен значению производной функции при , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид

.

Пример 1. Составить уравнение касательной к параболе у= в точке, абсцисса которой равна 2.

Решение. Найдем ординату точки касания:

у(2)= .

Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

Угловой коэффициент касательной

k=

Воспользовавшись уравнением, , получим:

у+3=2(х−2)

2х−у−7=0.

Если прямые параллельны, то угол между ними φ=0 => => . Таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны между собой.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними φ=90⁰ =>tgφ не существует => 1+ => . Таким образом, если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением .

Поскольку нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент k= .

Уравнение нормали имеет вид

.

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции у= в точке с абсциссой .

Решение. Найдем значение функции при х=−3:

f(−3)= .

Найдем производную данной функции:

Уравнение касательной:

у−2=−2(х+3)

2х+у+4=0

Уравнение нормали:

у−2=−

у−2=

х−2у+7=0

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t), то за промежуток времени ∆t (от момента t до момента t+∆t) оно пройдет некоторый путь ∆s. Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени ∆t.

Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути ∆s к приращению времени ∆t, когда приращение времени стремится к нулю:

v(t)= .

Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

.

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции y=f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

v(t)= .

Пример 3. Закон движения точки по прямой задан формулой s= (s−в метрах, t−в секундах). Найти скорость движения точки в конце пятой секунды.

Решение.

v = ,

v =375−30=345 (м/с).

Пример 4. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где −начальная скорость, g−ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если .

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:

.

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

За 40/g секунд тело поднимется на высоту

s=40

Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

а(t)= .

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.

Пример 5. Точка движется прямолинейно по закону s=3 . Найти скорость и ускорение в момент времени t=3.

Решение.

v(t)=

v .

а . [2]

Упражнения для закрепления

1. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=2.

2. Составить уравнения касательной и нормали к линии у=4х− в точке с абсциссой х=1.

3. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=−1.

4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у= в точке

(0; −2).

5. Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x)= в точках х=0,5; х=1; х=1,5.

6. На графике функции f(x)= найдите точку, в которой касательная к нему образует с осью Ох угол π/4.

7. К графику функции f(x)= проведена касательная, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки касания.

8. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением s= , t=2.

9. Пуля вылетает из автомата вверх со скоростью 500м/с. Найдите скорость пути через 12с и определите, сколько времени поднимается вверх (сопротивление воздуха не учитывать).

10. Скорость прямолинейного движения тела выражается законом v=t²−4t+5 (v− в м/с, t− в секундах). В какой момент времени ускорение будет равно нулю?

11. Тело масса которого m=3кг, движется прямолинейно по закону s=t²+t+1 (s− в метрах, t−в секундах). Найдите кинетическую энергию тела (mv²/2) через 5с после начала движения.

12. Количество электричества, протекающее через проводник начиная с t=0, определяется по формуле Q=0,5t³+0,2t²+t+1 (Q− в кулонах, t− в секундах). Найдите силу тока при t=10с.

Контрольные вопросы

1. Какой механический смысл имеет производная?

2. Сформулировать геометрический смысл производной.