Применение производной при исследовании функции

Определение:Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Определение.Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.

4. Если в окрестности критической точки меняет знак

с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: .

Решение: Найдем первую производную функции .

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

		0		2
	+	0	-	0	+
		т. max		т. min -4

Ответ: Функция возрастает при ; функция убывает при ; точка минимума функции ; точка максимума функции .

Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 2.Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: .

Решение: Находим производную: .

Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: .

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, , то при функция имеет минимум: .

Ответ: Точка минимума имеет координаты .