Тема: «Производная функции, ее применение к приближенным вычислениям и исследованию функций».

Знания:

- определение дифференцируемости функции;

- приращение функции и приращение аргумента;

- определение производной функции, ее физический и геометрический смыслы;

- правила дифференцирования и таблица производных.

Умения:

- находить производные простых и сложных функций;

- решать задачи с учетом профессиональной направленности;

- применять производные к исследованию функций.

 

Задание 1.

Найти производные следующих функций.

а) б) в)

г); ; д) .

 

Решение.

а)

Рассмотрим сложную функцию. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой . Внешней функцией является степенная функция, а внутренней – функции находящиеся в скобках.

 

 

б)

Предварительно преобразуем данную функцию, учитывая свойства степеней и логарифмов:

 

 

 

в)

Поскольку основание и показатель степени являются функциями от , то применяем логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем левую и правую части:

 

 

 

г)

Для нахождения производной данной функции воспользуемся формулой

 

д)

Рассмотрим сложную функцию. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой . Внешней функцией является показательная функция, а внутренней – функции находящиеся в скобках в степени.

 

Задание 2.

В питательную среду вносят 10 кроликов. Рост числа кроликов описывается уравнением . Найти скорость роста числа кроликов в момент времени часа.

Решение.

Т. к. производная определяет скорость течения какого-либо процесса, то найдем .

Скорость роста числа кроликов в момент времени часа найдем, подставив в производную часа

часа.

 

Задание 3

Найти угол наклона касательной к графику функции в точке .

Решение.

Для нахождения угла наклона касательной к графику функции воспользуемся формулой

.

Получаем . Найдем значение производной в точке .

.

Т. об., угол наклона касательной к графику функции в точке составляет .

Задание 4

Вычислить приближенное значение , , , .

Решение.

а) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой

.

Введем обозначения: , , – это ближайшее целое число к числу , поэтому .

Далее вычисляем , , .

Т. об., получаем .

 

б) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой

.

Введем обозначения: , , – это ближайшее табличное значение косинуса, поэтому .

Далее вычисляем , , , .

Т. об., получаем .

 

в) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой

.

Введем обозначения: , , – это ближайшее целое число числу , поэтому .

Далее вычисляем , , , .

Т. об., получаем .

г) Для вычисления приближенного значения воспользуемся формулой

.

Введем обозначения: , , – это ближайшее целое число числу , поэтому .

Далее вычисляем , , , .

Т. об., получаем .

Задание 5

а) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума .

б) Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

 

Решение.

а) Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума .

1. Найдем область определения функции . Известно, что дробь определена, если ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем,

.

Т. об., получаем .

2. Вычисляем производную функции

3. Решим уравнение .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем систему вида

.

4. Рисуем числовую ось, расставляем числа в порядке возрастания и определяем знаки над промежутками.

5. Т. об., функция возрастает при и функция убывает при . Т. к. в точке происходит смена знаков с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума и т. к. в точке происходит смена знаков с «-» на «+», то данная точка является точкой минимума функции.

 

б) Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

1. Найдем производную функции

2.. Решим уравнение .

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому получаем систему вида

.

Значение не принадлежит отрезку . Далее вычисляем значение функции в точке и на концах отрезка.

; ;

 

.

 

Т. об., , .

 

 

Приднестровский государственный университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра «Алгебры, геометрии и методики преподавания математики»

 

 

Лабораторная работа №3

Вариант №___

Тема: «Применение производных к исследованию функций».

 

 

Выполнил(а) студент(ка)

медицинского факультета,

гр. ______

специальность «_________________»

Ф.И.О.

 

Проверил преподаватель

Ф.И.О.

 

 

Дата сдачи	Дата возврата		Дата сдачи	Дата возврата

 

 

Тирасполь, 2017 г.