Тема: «Неопределенный и определенный интегралы. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Дифференциальные уравнения »

Знания:

- определение первообразной функции;

- определение неопределенного интеграла;

- свойства неопределенного интеграла;

- таблицу неопределенных интегралов;

- методы интегрирования;

- свойства определенного интеграла;

- формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;

- основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Умения:

- находить неопределенный интеграл различными методами;

- применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла;

- находить общее и частное решение дифференциальных уравнений.

 

 

Задание 1

Вычислить следующие интегралы.

а) , б) , в) ,

 

г) , д) , е) .

 

Решение.

а)

Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод непосредственного интегрирования. Преобразуем подынтегральное выражение и применим свойства неопределенного интеграла.

б)

Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данного метода подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .

 

в)

Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данному методу подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .

 

г)

Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данному методу подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .

д)

Для вычисления данного определенного интеграла применим метод подстановки. Согласно данному методу, необходимо ввести новую переменную так, чтобы свести подынтегральное выражение к одному из табличных интегралов, при этом обязательно произвести пересчет пределов интегрирования.

 

е)

Для вычисления данного определенного интеграла применим метод подстановки. Согласно данному методу, необходимо ввести новую переменную так, чтобы свести подынтегральное выражение к одному из табличных интегралов, при этом обязательно произвести пересчет пределов интегрирования.

Задание 2.

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение.

 

Построим фигуру, площадь которой требуется найти (рис.1).

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как , а вершина находится в точке , где

; .

Таким образом, .

Найдём точки пересечения параболы с осью :

; ;

.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках .

Для построения прямой, заданной уравнением , достаточно указать координаты двух её точек:

 

Найдём точку пересечения прямой и параболы. Для этого решим совместно систему уравнений:

 

Рис. 1

Итак, прямая пересекает параболу в точках и .Площадь заштрихованной фигуры найдём по формуле

,

где

, , , ,

так как прямая является верхней границей заштрихованной области, а парабола − нижней.

Итак,

кв. ед.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна кв. ед.

 

б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .

Решение.

Построим данные линии в системе координат:

Рис. 2

Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:

,

Выразим через в уравнениях заданных кривых:

, . Решая систему уравнений получим пределы интегрирования и .

 

Тогда

куб. ед.

Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , равен 0,3 куб. ед.

 

в) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение.

Рис.3

 

Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:

,

где .

Выразим через в уравнениях заданных кривых:

.

Пределы интегрирования и найдём, решив систему уравнений:

Тогда

куб. ед.

Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и , равен куб. ед

 

г) Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,1 м, если сила 200 Н растягивает пружину на 0,05 м?

Решение.

По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению , т. е. , где — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила растяги­вает пружину на м; следовательно, , откуда Искомая работа на основании формулы равна

 

д) Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, если скорость тела (м/с).

Решение.

Если (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения () до конца 5-й секунды, равен

Задание 3

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

.

 

Решение.

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя обе части, получим

Задание 4

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

, .

 

Решение.

Прежде чем найти частное решение данного дифференциального уравнения, найдем общее решение. Для этого представим производную функции в виде частного аргумента . Получим

–общее решение

–частное решение

 

Приднестровский государственный университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра «Алгебры, геометрии и методики преподавания математики»

 

 

Лабораторная работа №5

Вариант №___