Дробный факторный эксперимент

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высшего порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследований бывает нужно получить некоторую, не очень точную, информацию о процессе при минимальных затратах на проведение эксперимента. Использование дробных реплик от полного факторного эксперимента позволяет уменьшить число опытов. Дробные реплики задаются генерирующими соотношениями

Для обозначения дробных реплик, в которых p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимо­действия, удобно пользоваться условным обозначением 2 ^k-p. Так, полуреплика от 2³ запишется в виде 2^3-1. Планирование 2^3-1 может быть представлено двумя генерирующими соотношениями:

x₃=x₁x₂, x₃=-x₁x₂. (10)

Определяющим контрастом называется соотношение, задающее элементы первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной х ₀. Умножая генерирующее соотношение (10) на х ₃ получаем:

1= х ₁ х ₂ х ₃=- х ₁ х ₂ х ₃, х ₃²=1. (11)

Контраст помогает определять сме­шанные эффекты. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если , то для x ₁ имеем:

,

так как всегда . Для x ₂ находим:

,

для x ₃:

.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками:

,

,

.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте).

Разрешающая способность полуреплик определяется генерирующим соотношением и тем она выше, чем более высок порядок взаимодействий. Она возрастает с ростом числа независимых переменных. При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные. Если существует информация об эффектах взаимо­действия, то она должна использоваться при выборе реплики.

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, а только 8, т. е. воспользоваться четвертьрепликой 2^5-2. При этом возможны двенадцать решений, если х ₄ приравнять парному взаимодействию, а х ₅ – тройному. Допустим, выбран вариант и . Тогда определяющими контрастами являются и .

Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение, задающее элементы столбца . Для характеристики разрешающей способности реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст.

.

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х ₁, х ₂, х ₃ и т.д.

,

,

,

,

,

,

.

Получается сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, коэффициенты и будут отличаются от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. В этом случае следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.

При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл его заключается в том, что вторая чет­верть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные. Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения будут иметь знак, противоположный их знаку в первой четверть-репли­ке. Тройные произведения определяют парные взаимодей­ствия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть - реплик, можно полу­чить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимо­действиями.

С ростом числа факторных переменных увеличивается дробность реплик и усложняется система смешивания. Предельное число факторов для восьми опытов – семь. В этом случае оценивается восемь коэффициентов линейного уравнения

и число степе­ней свободы равно нулю.

План с предельным числом факторов для данного числа опытов и заданной модели называется насыщенным. В этом случае число опытов равно числу оцениваемых коэф­фициентов. При насыщенном планировании остаточная дисперсия модели s _ост² должна равняться нулю, она определяется для проверки правильности вычислений коэффициентов уравнения регрессии.

Контрольные вопросы

1. Планирование эксперимента, назначение. Свойства полного факторного эксперимента.

2. Составление матрицы планирования эксперимента. Свойства матрицы планирования.

3. Выбор верхнего и нижнего уровней факторов в эксперименте. Какие ограничения необходимо учитывать?

4. Для чего кодируются факторы при расчете ко­эффициентов уравнения регрессии?

5. Расчет параметров модели и оценка их значимости.

6. Оценка адекватности линейной модели.

7. Дробный факторный эксперимент и его назначение?

8. Понятия генерирующего соотношения и определяющего контракта, их назначение.

9. При отсутствии информации о взаимодействии факторов как выбирается реплика?

10. Если существует информация об эффектах взаимо­действия, то как должна использоваться эта информация при выборе реплики.

11. При насыщенном планировании чему должна равняться статочная дисперсия модели s _ост². Для проверки какой гипотезы используется остаточная дисперсия?