Лекция 3 Крутое восхождение по поверхности отклика

Чтобы иметь возможность найти оптимальные условия функционирования системы (например, протекания процесса) нужно построить описание поверхности отклика в широком диапазоне варьирования независимых переменных [2]. Адекватное описание больших участков поверхности отклика требует проведения большого числа опытов. Полный факторный эксперимент и дробные реплики могут применяться тогда, когда исследователь находится в области оптимального протекания процесса

Движение по градиенту

Наиболее короткий путь к оптимуму – направление градиента функции отклика. Градиент непрерывной однозначной функции есть вектор

,

где – обозначение градиента, – частная производная функции по i -му фактору, i, j, k – единичные векторы в направлении координатных осей.

Следовательно, составляющие градиента суть частные производные функции отклика, оценками которых являются, коэффициенты регрессии. Поэтому процедура движения к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Величины составляющих градиента определяются формой поверхности отклика и теми решениями, которые были приняты при выборе параметра оптимизации, нулевой точки и интервалов варьирования. Знак составляющих градиента зависит только от формы поверхности отклика и положения нулевой точки.

Выбор шага движения по градиенту имеет значение при поиске оптимума. Небольшой шаг потре­бует значительного числа опытов при движении к оптимуму, большой шаг увеличивает вероятность проскока области оптимума.

Движение по градиенту начинается из нулевой точки, центра плана. Движение проводится только по значимым факторам. Функция, величины коэффициентов которой различаются не существенно, называется симметричной относительно коэффициентов. Движение по градиенту для симметричной функции наиболее эффективно. Удачным выбором интервалов варьирования можно сделать симметричной любую линейную функцию для значимых факторов. Если функция резко асимметрична (коэффициенты различаются на порядок), то выгоднее вновь поставить эксперимент, изменив интервалы варьирования, а не двигаться по градиенту.

Рассчитав составляющие градиента, получают усло­вия мысленных опытов. Число мысленных опытов ограничивается сверху границей области определения по одному из факторов. Обычно рассчитывается 5–10 мыс­ленных опытов.

Существует две стратегии реализации мысленных опытов. Все намеченные к реали­зации опыты ставятся одновременно либо последовательно по некоторой программе. Последова­тельный принцип заключается в том, что вначале ставятся два-три опыта, анализируются результаты и принимается решение о постановке новых опытов.

Крутое восхождение считается эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим опытом серии.

Иногда приходится считаться с возможностью вре­менного дрейфа. Между исходной серией опытов и движением по градиенту может пройти значитель­ное время. Здесь можно рекомендовать систематическое повторение нулевых точек исходного плана, рандомизированных с точками крутого восхождения. Это дает воз­можность проверить гипотезу о наличии дрейфа. Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, лаборанта и т.д.), рекомендуется случайная пос­ледовательность при постановке опытов, запланированных матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный.