Использование калмановской фильтрации в нелинейных задачах

Данный раздел посвящен обсуждению применимости алгоритма калмановской фильтрации в условиях, когда модель движения и/или модель измерений являются нелинейными, то есть:

,

.

Очевидно, непосредственное использование фильтра Калмана в указанных условиях невозможно. Однако, линеаризуя каждую из моделей в окрестности т.н. опорной траектории, мы получим линейные модели в отклонениях от опорной траектории, к которым калмановские соотношения будут применимы. Таким образом, формально имеем:

и

.

Положим и на опорной траектории, и введем следующие обозначения:

; ; ;
; ; ;
; .

С учетом введенных обозначений линеаризованные модели эволюции и измерений могут быть переписаны следующим образом:

,

,

Как видно, полученные линеаризованные модели с точностью до обозначений совпадают по начертанию с линейными моделями из начала раздела за исключением лишь матрицы . Для получения более точного совпадения моделей можно обозначить а соответствующую ковариационную матрицу в соотношениях коррекции – .

Таким образом, соотношения коррекции и прогноза примут вид:

Несколько повысим вычислительную точность алгоритма путем замены разности (в отклонениях от опорной траектории) на в соотношении коррекции для прращения фазового вектора системы, а также добавим к левой и правой частям этого уравнения значение вектора состояния на опорной траектории в -й момент времени. Заменим также уравнение прогноза для приращения фазового вектора на соответствующее нелинейное соотношение из модели эволюции при нулевой случайной составляющей. В результате выполнения всех перечисленных выше действий преобразуем соотношения коррекции и прогноза к следующему виду:

Опорная траектория фазового вектора системы, необходимая для вычисления значений матриц и , полностью определяется первым из соотношений прогноза.

Метод наименьших квадратов

В настоящем разделе представлен метод наименьших квадратов, адаптированный для апостериорного анализа динамических систем.

Построение оценок

Для случая линейной модели равноточных измерений:

имеем следующий алгоритм оценивания фазового вектора:

.

Для случая неравноточных измерений вводится в рассмотрение матрица , содержащая на диагонали весовые коэффициенты. С учетом весовых коэффициентов предыдущее соотношение примет вид:

.

Если в качестве весовой использовать матрицу, обратную к ковариационной матрице ошибок измерений , то с учетом того обстоятельства, что получим:

.

Как следует из приведенных выше соотношений, основу метода составляет матрица , связывающая оцениваемый фазовый вектор , отнесенный к некоторому моменту времени , и вектор измерений . Вектор имеет, как правило, блочную структуру, в которой каждый из блоков отнесен к некоторому моменту времени , не совпадающую в общем случае с .

На рисунке показано некоторое возможное взаимное расположение моментов времени, к которым отнесены измерения и момента времени, к которому отнесен вектор оцениваемых параметров.

Для каждого вектора справедливо следующее соотношение:

, при .

Таким образом, в результирующем соотношении метода наименьших квадратов вектор и матрица имеют следующую структуру:

; .

Каждый блок матрицы может быть построен как результат произведения матрицы Коши, определяющей переход для фазового вектора системы от момента времени к моменту , и матрицы, связывающей фазовый вектор и блок вектора измерений, отнесенные к одному и тому же моменту времени :

.

Предпочтительным, с точки зрения обеспечения максимальной точности оценивания, является размещение момента времени, к которому привязан вектор оцениваемых параметров, в непосредственной близости от моментов, к которым привязаны измерения.

Прогноз

Для прогнозирования значения фазового вектора линейной системы

,

где
– определяет неслучайное вынуждающее воздействие на систему;
– определяет случайное воздействие на систему.

могут быть использованы соотношения прогноза, встречавшиеся выше при описании алгоритма калмановской фильтрации:

где – ковариационная матрица вектора .