Гауссовские случайные величины

В настоящем подразделе описаны несколько способов генерации гауссовских случайных величин с заданными математическим ожиданием и дисперсией на основе использования стандартных равномерно распределенных случайных величин .

Первый способ основывается на использовании свойства суммы случайных величин, связанного со стремлением закона ее распределения к гауссовскому:

.

Хорошее совпадение закона распределения случайной величины с гауссовским получается при . Однако, приведенное соотношение существенно упрощается при :

.

Основной недостаток данного способа генерации гауссовской случайной величины связан с тем, что для этой цели используется (12 или более) равномерно распределенных случайных величин. Т.о. производительность метода составляет .

Второй способ связан с использованием … и является наиболее предпочтительным с точки зрения простоты реализации:

,

где – случайная величина, распределенная по закону Рэлея:

.

Для генерации случайной величины используется только две равномерно распределенных случайных величины. Производительность метода т.о. составляет .

Наиболее высокой производительностью обладает третий способ генерации гауссовских случайных величин:

;

,

где нормирующий множитель определяется следующим соотношением:

.

При этом – сумма квадратов двух тех же самых равномерно распределенных случайных величин и :

,

при этом гауссовские случайные величины могут быть построены только в случае, если . Именно на этой проверке приведенный алгоритм теряет часть своей производительности. Все возможные сочетания случайных величин и представляют собой квадрат со стороной 2, а сочетания тех же вичин, удовлетворяющих условию проверки – круг с радиусом 1. Т.о. производительность алгоритма равна вероятности попадания случайного вектора в упомянутый выше круг, что составляет .

В случае, если Вы располагаете датчиком случайных гауссовских стандартных чисел в составе какой-либо библиотеки, то моделирование случайных гауссовских величин с произвольными значениями параметров может быть выполнено на основе использования значений следующим образом:

.

Случайные векторы

Проблема, решение которой описано в настоящем подразделе, состоит в моделировании вектора коррелированных между собой гауссовских случайных величин.

Пусть случайный вектор , подлежащий моделированию, формируется на основе преобразования вектора стандартных некоррелированных случайных величин соответствующей размерности следующим образом:

,

где
– вектор математического ожидания ;
– матрица коэффициентов, подлежащих определению.

Как известно, ковариационная матрица вектора , отвечающего приведенной выше зависимости, может быть определена на основе следующего соотношения:

.

Пусть матрица имеет вид:

.

Тогда, приравнивая левую и правую части уравнения поэлементно, для каждого из, например, нижнего треугольника, получим совокупность уравнений вида:

Разрешая полученные уравнения относительно элементов матрицы , получим окончательные соотношения:

Т.о. для получения вектора коррелированных случайных величин необходимо вычислить элементы матрицы в соответствии с приведенными выше формулами и сгенерировать реализации элементов вектора гауссовских случайных некоррелированных величин , после чего воспользоваться исходным соотношением подраздела.

Интеграл вероятностей

Вычисление значений коэффициентов статистической линеаризации основывается на использовании интеграла вероятностей:

.

Быстрый алгоритм вычисления данной функции для положительных с точностью до 4 знаков основывается на разложении в ряды по степеням аргумента для трех его интервалов.

На интервале значений аргумента вычисление интеграла вероятностей основывается на использовании экономизированного ряда:

.

На интервале – с помощью ряда Тейлора:

; ; .

Значение (верхний предел суммирования) определяется из условия:

.

На интервале – с помощью асимптотического ряда, вычисляемого с точностью до :

.

При сумма асимптотического ряда становится практически равной 1.

Расчет значений интеграла вероятностей при отрицательных значениях аргумента основывается на свойстве нечетности этой функции:

.

Т.о. при компьютерной реализации алгоритма, рассчитанного как на положительные, так и отрицательные значения аргумента , удобно воспользоваться следующим соотношением:

.

Другие разновидности интеграла вероятностей, встречающиеся в литературе, могут быть получены путем преобразования рассмотренной выше функции :

;
;

.

Полиномы Чебышева

…