Пространственный промежуток. Лоренцево сокращение длины.

Понятия «РАЗМЕР ТЕЛА», «промежуток времени между событиями» не имеют абсолютного характера и различны для различных систем отсчета.

Рассмотрим тонкий стержень, который покоится в системе . Его длина равна

 

. (1)

Измерения координат конца масштаба в проводятся в один и тот же момент времени , что естественно, так как масштаб движется. Имеем

 

, (2)

 

 

. (3)

 

Отсюда получаем

. (4)

 

Т.о., находим

 

. (5)

 

Т.о., длина масштаба по отношению к системе меньше, чем его собственная длина. Это сокращение длины наз. лоренцевым сокращением. Поэтому утверждение «расстояние между двумя точками пространства равно »не имеет смысла без указания к какой системе отсчета отнесена эта величина.

 

Собственное время объекта

 

Пусть в в системе происходит физический процесс в течение промежутка времени

 

. (6)

 

Тогда в системе отсчета имеем

 

, (7)

 

. (8)

 

 

Отсюда находим

 

 

. (9)

 

Формула (9) была проверена экспериментально многими способами.

В космических лучах наблюдается распад - мезона и - мезона соответственно на позитрон и два нейтрино и на электрон и два нейтрино. При этом наблюдается распад как заторможенных до остановки -мезонов с временем жизни с, так и на лету, когда они движутся со скоростью, близкой к скорости света. Времена жизни связаны соотношением

 

, (10)

 

где - время жизни покоящихся -мезонов, а - - время жизни движущихся -мезонов. Если бы время жизни не зависело от скорости они бы пролетали путь

 

м.

 

В действительности мюоны проходят путь около 20 км. Такому пробегу отвечает время жизни

 

с .

Релятивистское изменение времени жизни здесь большой и, так сказать, вполне реальный эффект.

 

Парадокс близнецов

П усть мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета движущиеся произвольным образом относительно нас часы. В каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с часами систему координат,котораябудет инерциальной. Тогда промежуток времени по движущимся часам будет связан с промежутком времени по неподвижным часам формулой

 

. (1)

 

Интегрируя это соотношение, имеем

 

. (2)

 

Отсюда видно, что собственное время всегда меньше.

 

Преобразование скорости

 

Имеем

 

, (1)

 

. (2)

 

Запишем формулы обратного преобразования

 

, (3)

 

(4)

, (5)

 

 

(6)

 

Возьмем дифференциал от этих соотношений. Получим

 

. (7)

 

(8)

 

, (9)

 

 

(10)

 

Отсюда получаем

 

 

(11)

 

, (12)

 

 

. (13)

 

В формулах, выражающих «штрихованные» скорости через «нештрихованнные» изменяются штрихи и знак у скорости.

Рассмотрим пример.

Пусть в частица движется со скоростью света . Тогда в системе отсчета ее скорость равна

 

 

как и должно быть!

 

Инварианты. Интервал между событиями.

 

В теории относительности много величин –инвариантов, которые не зависят от выбора системы отсчета. Одна из них – скорость распространения взаимодействия в вакууме. Важным инвариантом является интервал между событиями

(1)

Прямым вычислением можно показать, что

 

.

 

Поэтому утверждение «два физических события разделены интервалом » справедливо во всех инерциальных системах отсчета.