Характеристика нормального распеределения

· Полностью определяется двумя параметрами средней (µ) и дисперсией (σ2)

· Колоколообразная (унимодальная)

· Симметричная относительно среднего

· Сдвигается вправо, если средняя увеличивается, и влево если средняя уменьшается (при постоянной дисперсии)

· Сплющивается, если дисперсия увеличивается, но становится более остроконечной, если дисперсия уменьшается (для постоянного среднего)

Дополнительные свойства

· Среде и медиана нормального распеределения равны

· Вероятность того, что нормально распределенная случайная переменная х со средним µ, и стандартным отклонением σ, находятся между

(µ - σ) и (µ + σ) равна 0,68

(µ - 1,96 σ) и (µ + 1,96 σ) равна 0,95

(µ - 2,58 σ) и (µ + 2,58 σ) равна 0,99

Отклонение параметра от его средней арифметической в пределах σ

расценивается как норма, субнормальным считается отклонение в пределах ± 2σ и патологическим - сверх этого предела, т.е. > ± 2σ"

Рисунок 4. Разделение на квантили

 

Рисунок 5. Правило «трех сигм» (SD - стандартное отклонение)

Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.

Рисунок 6. Островершинность распеределения

 

Асимметрия положительна (A_s>0), если длинная часть кривой распределения расположена справа от моды (М_о). В этом случае соотношение между средней, медианой и модой нарушено:

Рисунок 7. Ассиметричное распределение (правосторонняя ассиметрия)

Асимметрия отрицательна (A_s<0), если длинная часть кривой распределения расположена слева от моды (М_о).

Рисунок 8. Ассиметричное распределение (левосторонняя ассиметрия)

 

• A_s< 0.25 – слабая асимметрия

• A_s= 0.25-0.5 – умеренная асимметрия

• A_s> 0.5 – крайне асимметричное распределение

Характер распределения	Описание «островершинности»	Величина эксцесса
Нормальное, напри­мер кривая В на рис. 1.31	Средневершинное
Островершинное, на­пример кривая А на рис. 1.31	Островершинное	Больше 0 (может быть очень большой)
Плоское, например кривая Б на рис. 1	Плосковершинное	Меньше 0

Таблица 3. Соотношение величины статистики эксцесса
с «островершинностью» распределения частот

 

Рисунок 9. Островер­шинная», «плоская» и «промежуточная» («средневершинная») кривые (А, Б, В, со­ответственно)

 

Проверка на нормальность(R-ч.0,06%)

Ø Визуальный метод

Ø График вероятности

Ø Критерий Колмогорова-Смирнова.

Если K-S d>0,0895, распределение не соответствует нормальному на уровне значимости 0,05.

Ø Критерий Шапиро-Уилка

Ø Совпадение значений моды и медианы

Ø Равенство нулю показателей асимметрии и эксцесса (таблицы критических значений для заданной выборки)

Нормальное распределение
- фундаментальный закон природы
Мировая практика: нормальное распределение 20-25%!!!

Рисунок 10. Гистограмма нормального распределения

 

Проверка на нормальность с помощью графика вероятности

 

Рисунок 11. Q-Q диаграмма нормального распределения

ЗАДАЧА-ЭТАЛОН