Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в номинальной шкале (например, пол пациента - мужской или женский) или в порядковой (например, степень артериальной гипертензии, принимающая значения от 0 до 3).

2. Данный метод позволяет проводить анализ не только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются бинарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, мужской или женский пол, наличие или отсутствие определенного заболевания в анамнезе...). Критерий хи-квадрат Пирсона может применяться и в случае анализа многопольных таблиц, когда фактор и (или) исход принимают три и более значений.

3. Сопоставляемые группы должны быть независимыми, то есть критерий хи-квадрат не должен применяться при сравнении наблюдений "до-"после". В этих случаях проводится тест Мак-Немара (при сравнении двух связанных совокупностей) или рассчитывается Q-критерий Кохрена (в случае сравнения трех и более групп).

4. При анализе четырехпольных таблиц ожидаемые значения в каждой из ячеек должны быть не менее 10. В том случае, если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление принимает значение от 5 до 9, критерий хи-квадрат должен рассчитываться с поправкой Йейтса. Если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление меньше 5, то для анализа должен использоваться точный критерий Фишера.

5. В случае анализа многопольных таблиц ожидаемое число наблюдений не должно принимать значения менее 5 более чем в 20% ячеек.

Как рассчитать критерий хи-квадрат Пирсона?

Для расчета критерия хи-квадрат необходимо:

1. Рассчитываем ожидаемое количество наблюдений для каждой из ячеек таблицы сопряженности (при условии справедливости нулевой гипотезы об отсутствии взаимосвязи) путем перемножения сумм рядов и столбцов с последующим делением полученного произведения на общее число наблюдений. Общий вид таблицы ожидаемых значений представлен ниже:

Таблица 5. Таблица ожидаемых значений

2. Находим значение критерия χ² по следующей формуле:

где i – номер строки (от 1 до r), j – номер столбца (от 1 до с), O_ij – фактическое количество наблюдений в ячейке ij, E_ij – ожидаемое число наблюдений в ячейке ij.

В том случае, если число ожидаемого явления меньше 10 хотя бы в одной ячейке, при анализе четырехпольных таблиц должен рассчитываться критерий хи-квадрат с поправкой Йейтса. Данная поправка позволяет уменьшить вероятность ошибки первого типа, т.е обнаружения различий там, где их нет. Поправка Йейтса заключается в вычитании 0,5 из абсолютного значения разности между фактическим и ожидаемым количеством наблюдений в каждой ячейке, что ведет к уменьшению величины критерия хи-квадрат.

Формула для расчета критерия χ² с поправкой Йейтса следующая:

3. Определяем число степеней свободы по формуле: f = (r – 1) × (c – 1). Ссответственно, для четырехпольной таблицы, в которой 2 ряда (r = 2) и 2 столбца (c = 2), число степеней свободы составляет f_2x2 = (2 - 1)*(2 - 1) = 1.

4. Сравниваем значение критерия χ²с критическим значением при числе степеней свободы f (по таблице).

Данный алгоритм применим как для четырехпольных, так и для многопольных таблиц.