Тема 2.3. Системы 2-х и 3-х линейных уравнений с действительными коэффициентами.

Практическая работа № 10

Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.

«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений.

знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Матричное равенство запишем в виде:

 

(7)

 

или

(8)

 

Отсюда следует, что

(9)

 

Но есть разложение определителя

 

 

по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Итак, .

 

 

Аналогично , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом свободных членов, Формулы

 

(10)

называются формулами Крамера.

Пример по выполнению практической работы

Пример 1. Решить систему методом Крамера:

 

3x₁ + x₂ – 2x₃ = 6;

5x₁ – 3x₂ + 2x₃ = -4;

4x₁ – 2x₂ – 3x₃ = -2.

 

Находим главный определитель системы:

3 1 -2

∆ = 5 -3 2 = 3∙(-3) ∙ (-3) + 1∙ 2∙ 4 + 5∙(-2) ∙ (-2) – 4∙(-3) ∙ (-2) – 5∙ 1∙(-3) –

4 -2 -3 - (-2) ∙ 2∙ 3 =27 +8 +20 -24 + 15 + 12 = 58.

 

Так как главный определитель системы не равен нулю, то она совместна. Находим определители: ∆x₁, ∆x₂, ∆x₃. Определитель ∆x₁ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём первого столбца на столбец свободных членов.

6 1 -2

∆x₁ = -4 -3 2 = 54 – 4 – 16 + 12 – 12 + 24 = 58.

-2 -2 -3

 

 

Т.к. ∆x₁ отличен от нуля, значит решение системы единственное. Определитель ∆x₂ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём второго столбца на столбец свободных членов.

 

3 6 -2

∆x₂ = 5 -4 2 = 36 + 48 + 20 – 32 + 90 + 12 = 174.

4 -2 -3

 

 

Определитель ∆x₃ получается из главного определителя ∆ путём замены в нём третьего столбца на столбец свободных членов.

3 1 6

∆x₃ = 5 -3 -4 = 18 – 16 – 60 + 72 + 10 – 24 = 0.

4 -2 -2

 

По формулам Крамера: x₁ = = =1; x₂ = = 3; = = 0.

Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 3; 0).

 

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Решить систему методом Крамера:

а) б) в)

Вариант 2

1. Решить систему методом Крамера:

а) б) в)

Вариант 3

1. Решить систему методом Крамера:

а) б) в)

Вариант 4

1. Решить систему методом Крамера:

а) б) в)

Контрольные вопросы

1. В каком случае система уравнений будет несовместной при решении методом Крамера;

2. Напишите общий вид формул Крамера;

3. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений.

 

 

Практическая работа № 11-12

Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.

«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

 

Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- решать системы линейных уравнений.

знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.