Тема 3.2. Понятие бесконечно малой величины.

Практических работ- нет

Тема 3.3. Дифференциал и его геометрический смысл.

Практическая работа № 17

«Дифференцирование сложной функции»

Цель работы: научиться дифференцировать.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

 

Понятие производной функции

Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции ƒ (x) в точке x₀ называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ ’ (x₀).

 

(1)

 

Производную функции y = ƒ (x), x є (a;b) в точке x обозначают ƒ ’ (x), y ’ (x), , , причём все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ ’ (x) можно рассматривать как функцию на (a;b).

Таблица производных элементарных функций

 

 

Правила дифференцирования

На практике применяют следующие правила дифференцирования

 

1.

2. ,

3. , ;

4. ,

где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

 

Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть дана сложная функция , где . Если функция дифференцируема в некоторой точке х ₀, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке х ₀ имеет производную, которая находится по формуле

 

или

Пример по выполнению практической работы

Пример 1. Вычислить , если .

Решение:

Пример 2. Вычислить , если

Решение:

 

Пример 3. Вычислить , если

Решение:

1) ;

2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем

 

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Вычислить производные следующих функций:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5); 6) ;

2. Вычислить , если ;

3. Вычислить , если .

Вариант 2

1. Вычислить производные следующих функций:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5) ; 6) ;

2. Вычислить , если ;

3. Найти , если .

Вариант 3

1. Вычислить производные следующих функций:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

2. Вычислить ), если ;

3. Найти , если .

Вариант 4

1. Вычислить производные следующих функций:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5) ; 6) ;

 

2. Вычислить , если ;

3. Найти , если .

Контрольные вопросы

1. Что называется производной функции в точке?

2. Что такое дифференцирование?

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

4. Перечислите табличные производные.

5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

Практическая работа № 18

«Физические и геометрические приложения производной»

Цель работы: научиться применять физический и геометрический смысл

производной.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.