Работа постоянной и переменной силы. Закон сохранения механической энергии

 

1. Работа постоянной силы

,

где – угол между вектором силы и перемещением.

2. Работа переменной силы

,

где – проекция силы на направление перемещения dS.

3. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

или .

4. Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (данные тела считаются материальными точками);

в) тела, находящегося вблизи поверхности Земли(в однородном поле силы тяжести)

,

где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

 

 

5. Работа,совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы

.

6. Закон сохранения механической энергии

E = E_k + E _П = const.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1

К нижнему концу пружины жёсткостью Н/м присоединена другая пружина жёсткостью Н/м, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружины, определить отношение потенциальных энергий пружин.

Дано:	Решение:
k 1 = Н/м k 2 = Н/м	Так как на обе пружины действует одна и та же сила (mg), то силы упругости одинаковы для обеих пружин, т.е. , (1)
=?

отсюда . (2)

Известно, что потенциальная энергия пружины имеет вид

.

Запишем выражение для потенциальных энергий первой и второй пружин:

и .

Разделим на :

. (3)

 

 

Подставив (2) в выражение (3), получим:

.

 

Задача 2

Поезд массой 600 т движется под гору с уклоном 0,3^о и за 1 минуту развивает скорость 18 км/ч. Коэффициент трения равен 0,01. Определить среднюю мощность локомотива.

 

 

Дано:	Решение:
m = 600т = кг t = 1 мин = 60 с f = 0,01	Средняя мощность, развиваемая локомотивом , (1) где F т – сила тяги. Среднее значение скорости , , ускорение поезда .
<N> =?

Запишем уравнение II закона Ньютона в проекции на направление движения:

, (2)

где . (3)

Тогда из уравнения (2) с учётом (3) запишем выражение для силы тяги локомотива:

, (4)

средняя мощность, развиваемая локомотивом, < N > вычисляется по формуле

.

Произведя вычисления, получим:

кВт.

Задача 3

Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент полезного действия (КПД) удара.

Дано:	Решение:
m 1 = 5 кг m 2 = 95 кг v 1 = 4 м/с v 2 = 0	Систему, состоящую из молота, изделия и наковальни, считаем замкнутой во время удара, когда силы ударного взаимодействия значительно превышают равнодействующую сил тяжести и силы реакции опоры. К такой системе можно применить закон сохранения импульса.
E деф =?

Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия Е _деф, затраченная на деформацию, равна разности значений механической энергии системы до и после удара

, (1)

где u –общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса

, (2)

откуда

. (3)

Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Е _деф:

. (4)

Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД равен

. (5)

Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:

.

Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.