Пространственная решетка кристалла

1. Координаты любого узла решетки записываются в виде

; ; и обозначаются: [[ n ₁ n ₂ n ₃]], где a_i – основные периоды решетки; n_i – целые числа, называемые индексами узла и обозначающие число периодов решетки, соответствующих данному узлу, .

Для описания направления в кристалле выбирают прямую, проходящую через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексаминаправления [ n ₁ n ₂ n ₃], где n_i – индексы ближайшего к началу координат узла решетки.

2. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [ n ₁ n ₂ n ₃], в кубической решетке выражается соотношением

,

где а – параметр решетки.

3. Кристаллографическиеплоскости определяются тремя взаимно простыми целыми числами (hkl), называемыми индексамиМиллера. Они определяют систему бесконечного числа параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением числа

q = 0, + 1, + 2,…

Таким образом, кристаллографическая плоскость однозначно задается совокупностью чисел {(hkl), q }. Для отрицательных индексов над (или под) буквой ставится знак минус, например h. Индексы [[ n ₁ n ₂ n ₃]] любого узла, лежащего в данной плоскости, удовлетворяют соотношению:

n ₁ h + n ₂ k + n ₃ l = q.

При q = 0 плоскость проходит через начало координат.

Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, то соответствую-щий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна плоскости (yz).

4. Расстояние D плоскости от начала координат определяется числом q

D = q/b ₀,

где

,

где – вектор обратной решетки; (i = 1,2,3) – базисные векторы обратной решетки

, , ;

V_c – объем элементарной ячейки кристалла.

Из выражения следует, что расстояние d между соседними плоскостями (D q = 1) с индексами (hkl) равно:

.

5. Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные

x_{q =} а ₁ q/h, y_q = a ₂ q/k, z_q = a ₃ q/l

Очевидно, что если q/h, q/k и q/l – целые числа, то плоскость пересекает соответствующую координатную ось в узловой точке.

6. Молярный объем кристалла

V _m = m/r,

где m –молярная масса;r – плотность кристалла.

 

7. Объем элементарной ячейки в случае кубической сингонии

V _эл = а ³,

где а – параметр решетки.

8. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

 

Z _m = V _m/ V _эл

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

Z _m = N _A/ n,

где N _A – число Авогадро; n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

9. Число элементарных ячеек в единице объема кристалла

Z = Z _m/ V _m.

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

Z = r N _A/(n m)

10. Параметр решетки, состоящей из одинаковых атомов

a = (n m/r N _A)^1/3

Расстояние между соседними атомами в кубической решетке:

а) в простой d =a;

б) в гранецентрированной ;

в) в объемноцентрированной .

11. Число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку:

а) простая кубическая решетка n = 1;

б) гранецентрированная кубическая решетка n = 4;

в) объемноцентрированная кубическая решетка n = 2.

 

 

Примеры решения задач

Задача 1

Определить параметр решетки и плотность кристалла кальция, если расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,393 нм. Решетка кубическая, гранецентрированная.

Дано: N A = моль-1 m = кг/моль d = м n = 4	Решение: Параметр решетки а и расстояние d между двумя ближайшими соседними атомами связаны соотношением: .
a =? r =?

Подставляя в это выражение числовые значения, получим:

а = 5,56 10^-10 м.

Плотность кристалла

r = m n /(N _A a ³) = .

 

Задача 2

Вычислить период идентичности l вдоль прямой [2 3 1] в решётке NaCl, если плотность кристалла равна 2,17 г/см³. Решётка гранецентрированная кубическая.

Дано: n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 1 r= кг/м3	Решение: Постоянная решетки кристалла NaClравна a = (n m/(r N A))1/3 (1) Число Авогадро N A =6,02 .
l =?

Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке . Пользуясь таблицей Менделеева, находим: A(Na) = 23, A(Cl)=35. Следовательно, M(NaCl)=58, откуда молярная масса NACl:

.

 

Подставляя числа в формулу (1), получаем

а = 5,62 10^{-10 м.}

Период идентичности кристалла вдоль прямой [231]

l = a (n ₁² + n ₂² + n ₃²)^1/2 = 10^-10 (4 + 9 + 1)^1/2 = 13,3 10^-10м

 

Задача 3

Написать индексы Миллера для плоскости, проходящей через узлы с индексами: [[010]], [[12 2 ]], [[132]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

Дано: Индексы узлов: [[010]], [[12 2 ]], [[132]].	Решение: Для любого узла с индексами [[ n 1 n 2 n 3]], лежащего в данной плоскости, индексы Миллера (hkl) удовлетворяют соотношению: n 1 h + n 2 k + n 3 l = q, (1)
(hkl) =?, xq =?, yq =?, zq =?

где h, k, l, q – целые числа. Подставляя в уравнение (1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений:

k=q

h + k – 2 l = q

h + 3 k + 2 l =q

Решая эту систему в целых числах, получаем: h = -6, k =4, l =-1; q =4, т.е. данная плоскость задается индексами: {(6 4 1);4}. Она отсекает на осях координат отрезки, равные

x ₀ = a ₁ q/h = -2/3 a ₁; y ₀ = a ₂ q/k = a ₂; z ₀ = -4 a ₃,

где а_i (i = 1,2,3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и z в узловых точках.